გადაწყვიტეთ 12x^2+13x+3=0

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 12x^{2}+ax+bx+3. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 13.

$$a=4 b=9$$

ხელახლა დაწერეთ 12x^{2}+13x+3, როგორც \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

4x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 3x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 3x+1=0 და 4x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 12-ით a, 13-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

აიყვანეთ კვადრატში 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 12.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ -48-ზე 3.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

მიუმატეთ 169 -144-ს.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

აიღეთ 25-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 12.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±5}{24} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -13 5-ს.

$$x=-\frac{8}{24}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-8}{24} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 8-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±5}{24} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5 -13-ს.

$$x=-\frac{18}{24}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-18}{24} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$12x^{2}+13x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 12-ზე.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

12-ზე გაყოფა აუქმებს 12-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-3}{12} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

გაყავით \frac{13}{12}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{13}{24}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{13}{24}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{13}{24} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{4} \frac{169}{576}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

გამოაკელით \frac{13}{24} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$