გადაწყვიტეთ 11=1+20x-49x^2

$$11=1+20x-49 { x }^{ 2 }$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}\approx 0.204081633-0.403028932i$$

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}\approx 0.204081633+0.403028932i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

გამოაკელით 11 ორივე მხარეს.

$$1+20x-49x^{2}-11=0$$

გამოაკელით 11 1-ს -10-ის მისაღებად.

$$-10+20x-49x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-49x^{2}+20x-10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -49-ით a, 20-ით b და -10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -49.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

გაამრავლეთ 196-ზე -10.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1960}}{2\left(-49\right)}$$

მიუმატეთ 400 -1960-ს.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-1560}}{2\left(-49\right)}$$

აიღეთ -1560-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{2\left(-49\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -49.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -20 2i\sqrt{390}-ს.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{390}i}{-98}$$

გაყავით -20+2i\sqrt{390} -98-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{390} -20-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{390}i-20}{-98}$$

გაყავით -20-2i\sqrt{390} -98-ზე.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49} x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

შეუცვალეთ ადგილები ისე, რომ ყველა ცვლადი წევრები მარცხენა მხარეს აღმოჩნდეს.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$20x-49x^{2}=11-1$$

გამოაკელით 1 11-ს 10-ის მისაღებად.

$$20x-49x^{2}=10$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-49x^{2}+20x=10$$

ორივე მხარე გაყავით -49-ზე.

$$\frac{-49x^{2}+20x}{-49}=\frac{10}{-49}$$

-49-ზე გაყოფა აუქმებს -49-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{20}{-49}x=\frac{10}{-49}$$

გაყავით 20 -49-ზე.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=\frac{10}{-49}$$

გაყავით 10 -49-ზე.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=-\frac{10}{49}$$

გაყავით -\frac{20}{49}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{10}{49}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{10}{49}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{10}{49} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{100}{2401}$$

მიუმატეთ -\frac{10}{49} \frac{100}{2401}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{390}{2401}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{390}{2401}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{390}{2401}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{390}i}{49} x-\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{390}i}{49}$$

მიუმატეთ \frac{10}{49} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49} x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$