გადაწყვიტეთ 1024x^2+768x+1280=0

$$1024 { x }^{ 2 } +768x+1280=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}\approx -0.375+1.053268722i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}\approx -0.375-1.053268722i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$1024x^{2}+768x+1280=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1024-ით a, 768-ით b და 1280-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-768±\sqrt{768^{2}-4\times 1024\times 1280}}{2\times 1024}$$

აიყვანეთ კვადრატში 768.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-4\times 1024\times 1280}}{2\times 1024}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1024.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-4096\times 1280}}{2\times 1024}$$

გაამრავლეთ -4096-ზე 1280.

$$x=\frac{-768±\sqrt{589824-5242880}}{2\times 1024}$$

მიუმატეთ 589824 -5242880-ს.

$$x=\frac{-768±\sqrt{-4653056}}{2\times 1024}$$

აიღეთ -4653056-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2\times 1024}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 1024.

$$x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -768 256i\sqrt{71}-ს.

$$x=\frac{-768+256\sqrt{71}i}{2048}$$

გაყავით -768+256i\sqrt{71} 2048-ზე.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-768±256\sqrt{71}i}{2048} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 256i\sqrt{71} -768-ს.

$$x=\frac{-256\sqrt{71}i-768}{2048}$$

გაყავით -768-256i\sqrt{71} 2048-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$1024x^{2}+768x+1280=0$$

გამოაკელით 1280 განტოლების ორივე მხარეს.

$$1024x^{2}+768x+1280-1280=-1280$$

1280-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$1024x^{2}+768x=-1280$$

ორივე მხარე გაყავით 1024-ზე.

$$\frac{1024x^{2}+768x}{1024}=-\frac{1280}{1024}$$

1024-ზე გაყოფა აუქმებს 1024-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{768}{1024}x=-\frac{1280}{1024}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{768}{1024} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 256-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1280}{1024}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-1280}{1024} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 256-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{5}{4}$$

გაყავით \frac{3}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{9}{64}$$

მიუმატეთ -\frac{5}{4} \frac{9}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{71}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{71}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{71}i}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{71}i}{8}$$

გამოაკელით \frac{3}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$