გადაწყვიტეთ 1000x^2+2x+69=0

$$1000 { x }^{ 2 } +2x+69=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000}\approx -0.001+0.262676607i$$

$$x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}\approx -0.001-0.262676607i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$1000x^{2}+2x+69=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1000-ით a, 2-ით b და 69-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 1000\times 69}}{2\times 1000}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 1000\times 69}}{2\times 1000}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 1000.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4000\times 69}}{2\times 1000}$$

გაამრავლეთ -4000-ზე 69.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-276000}}{2\times 1000}$$

მიუმატეთ 4 -276000-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-275996}}{2\times 1000}$$

აიღეთ -275996-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2\times 1000}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 1000.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2i\sqrt{68999}-ს.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{68999}i}{2000}$$

გაყავით -2+2i\sqrt{68999} 2000-ზე.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{68999}i}{2000} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2i\sqrt{68999} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{68999}i-2}{2000}$$

გაყავით -2-2i\sqrt{68999} 2000-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000} x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$1000x^{2}+2x+69=0$$

გამოაკელით 69 განტოლების ორივე მხარეს.

$$1000x^{2}+2x+69-69=-69$$

69-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$1000x^{2}+2x=-69$$

ორივე მხარე გაყავით 1000-ზე.

$$\frac{1000x^{2}+2x}{1000}=-\frac{69}{1000}$$

1000-ზე გაყოფა აუქმებს 1000-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{1000}x=-\frac{69}{1000}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{1000} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x=-\frac{69}{1000}$$

გაყავით \frac{1}{500}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{1000}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{1000}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\left(\frac{1}{1000}\right)^{2}=-\frac{69}{1000}+\left(\frac{1}{1000}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{1000} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}=-\frac{69}{1000}+\frac{1}{1000000}$$

მიუმატეთ -\frac{69}{1000} \frac{1}{1000000}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}=-\frac{68999}{1000000}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{500}x+\frac{1}{1000000}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{1000}\right)^{2}=-\frac{68999}{1000000}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{1000}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{68999}{1000000}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{1000}=\frac{\sqrt{68999}i}{1000} x+\frac{1}{1000}=-\frac{\sqrt{68999}i}{1000}$$

გამოაკელით \frac{1}{1000} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{68999}i}{1000} x=\frac{-\sqrt{68999}i-1}{1000}$$