გადაწყვიტეთ 10y-y^2=24

$$10 y - y ^ { 2 } = 24$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=4$$

$$y=6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 24 ორივე მხარეს.

$$10y-y^{2}-24=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-y^{2}+10y-24=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -y^{2}+ay+by-24. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=10 ab=-\left(-24\right)=24$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 24.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 10.

$$a=6 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ -y^{2}+10y-24, როგორც \left(-y^{2}+6y\right)+\left(4y-24\right).

$$\left(-y^{2}+6y\right)+\left(4y-24\right)$$

-y-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-y\left(y-6\right)+4\left(y-6\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი y-6 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(y-6\right)\left(-y+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით y-6=0 და -y+4=0.

$$y=6 y=4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-y^{2}+10y=24$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y^{2}+10y-24=24-24$$

24-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-y^{2}+10y-24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 10-ით b და -24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 10.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე -24.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 100 -96-ს.

$$y=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 4-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-10±2}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$y=\frac{-10±2}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-10±2}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -10 2-ს.

$$y=-\frac{8}{-2}$$

გაყავით -8 -2-ზე.

$$y=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-10±2}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2 -10-ს.

$$y=-\frac{12}{-2}$$

გაყავით -12 -2-ზე.

$$y=6$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=4 y=6$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+10y=24$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-y^{2}+10y}{-1}=\frac{24}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}+\frac{10}{-1}y=\frac{24}{-1}$$

გაყავით 10 -1-ზე.

$$y^{2}-10y=\frac{24}{-1}$$

გაყავით 24 -1-ზე.

$$y^{2}-10y=-24$$

გაყავით -10, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -5-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -5-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}-10y+\left(-5\right)^{2}=-24+\left(-5\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$y^{2}-10y+25=-24+25$$

მიუმატეთ -24 25-ს.

$$y^{2}-10y+25=1$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}-10y+25. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-5\right)^{2}=1$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y-5\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

გაამარტივეთ.

$$y-5=1 y-5=-1$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=6 y=4$$