გადაწყვიტეთ 10x^2-x+3=0

$$10 x ^ { 2 } - x + 3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}\approx 0.05+0.545435606i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}\approx 0.05-0.545435606i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$10x^{2}-x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 10-ით a, -1-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 10\times 3}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 10.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-40\times 3}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -40-ზე 3.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-120}}{2\times 10}$$

მიუმატეთ 1 -120-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-119}}{2\times 10}$$

აიღეთ -119-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 10.

$$x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 i\sqrt{119}-ს.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±\sqrt{119}i}{20} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{119} 1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-x+3=0$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x^{2}-x+3-3=-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$10x^{2}-x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$\frac{10x^{2}-x}{10}=-\frac{3}{10}$$

10-ზე გაყოფა აუქმებს 10-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x=-\frac{3}{10}$$

გაყავით -\frac{1}{10}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{20}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{20}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{3}{10}+\left(-\frac{1}{20}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{20} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

მიუმატეთ -\frac{3}{10} \frac{1}{400}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=-\frac{119}{400}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}=-\frac{119}{400}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{400}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{20}=\frac{\sqrt{119}i}{20} x-\frac{1}{20}=-\frac{\sqrt{119}i}{20}$$

მიუმატეთ \frac{1}{20} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1+\sqrt{119}i}{20} x=\frac{-\sqrt{119}i+1}{20}$$