გადაწყვიტეთ 10x^2-11x-6=0

$$10 x ^ { 2 } - 11 x - 6 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 10x^{2}+ax+bx-6. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-11 ab=10\left(-6\right)=-60$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -11.

$$a=-15 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ 10x^{2}-11x-6, როგორც \left(10x^{2}-15x\right)+\left(4x-6\right).

$$\left(10x^{2}-15x\right)+\left(4x-6\right)$$

5x-ის პირველ, 2-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-3\right)\left(5x+2\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-3=0 და 5x+2=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$10x^{2}-11x-6=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 10-ით a, -11-ით b და -6-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 10\left(-6\right)}}{2\times 10}$$

აიყვანეთ კვადრატში -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 10\left(-6\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 10.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-40\left(-6\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -40-ზე -6.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2\times 10}$$

მიუმატეთ 121 240-ს.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2\times 10}$$

აიღეთ 361-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±19}{2\times 10}$$

-11-ის საპირისპიროა 11.

$$x=\frac{11±19}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 10.

$$x=\frac{11±19}{20}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{11±19}{20} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 11 19-ს.

$$x=\frac{30}{20}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{30}{20} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{11±19}{20} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 19 11-ს.

$$x=-\frac{8}{20}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-8}{20} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{2}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}-11x-6=0$$

მიუმატეთ 6 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x^{2}-11x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

-6-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$10x^{2}-11x=-\left(-6\right)$$

გამოაკელით -6 0-ს.

$$10x^{2}-11x=6$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$\frac{10x^{2}-11x}{10}=\frac{6}{10}$$

10-ზე გაყოფა აუქმებს 10-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}-\frac{11}{10}x=\frac{6}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{11}{10}x=\frac{3}{5}$$

გაყავით -\frac{11}{10}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{20}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{20}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{11}{10}x+\left(-\frac{11}{20}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{11}{20}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{20} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{11}{10}x+\frac{121}{400}=\frac{3}{5}+\frac{121}{400}$$

მიუმატეთ \frac{3}{5} \frac{121}{400}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{11}{10}x+\frac{121}{400}=\frac{361}{400}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{11}{10}x+\frac{121}{400}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{20}\right)^{2}=\frac{361}{400}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{400}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{11}{20}=\frac{19}{20} x-\frac{11}{20}=-\frac{19}{20}$$

მიუმატეთ \frac{11}{20} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{5}$$