გადაწყვიტეთ 10x^2+x=3

$$10 x ^ { 2 } + x = 3$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 3 ორივე მხარეს.

$$10x^{2}+x-3=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 10x^{2}+ax+bx-3. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=10\left(-3\right)=-30$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=-5 b=6$$

ხელახლა დაწერეთ 10x^{2}+x-3, როგორც \left(10x^{2}-5x\right)+\left(6x-3\right).

$$\left(10x^{2}-5x\right)+\left(6x-3\right)$$

5x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$5x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 2x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(2x-1\right)\left(5x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 2x-1=0 და 5x+3=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{5}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$10x^{2}+x=3$$

გამოაკელით 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x^{2}+x-3=3-3$$

3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$10x^{2}+x-3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 10-ით a, 1-ით b და -3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 10.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-40\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -40-ზე -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 10}$$

მიუმატეთ 1 120-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

აიღეთ 121-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 10.

$$x=\frac{-1±11}{20}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±11}{20} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 11-ს.

$$x=\frac{10}{20}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{10}{20} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±11}{20} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 11 -1-ს.

$$x=-\frac{12}{20}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-12}{20} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+x=3$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$\frac{10x^{2}+x}{10}=\frac{3}{10}$$

10-ზე გაყოფა აუქმებს 10-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x=\frac{3}{10}$$

გაყავით \frac{1}{10}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{20}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{20}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x+\left(\frac{1}{20}\right)^{2}=\frac{3}{10}+\left(\frac{1}{20}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{20} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=\frac{3}{10}+\frac{1}{400}$$

მიუმატეთ \frac{3}{10} \frac{1}{400}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}=\frac{121}{400}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{10}x+\frac{1}{400}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{20}=\frac{11}{20} x+\frac{1}{20}=-\frac{11}{20}$$

გამოაკელით \frac{1}{20} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{5}$$