გადაწყვიტეთ 10x^2+7x-12=0

$$10 x ^ { 2 } + 7 x - 12 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{4}{5}=0.8$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 10x^{2}+ax+bx-12. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=7 ab=10\left(-12\right)=-120$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 7.

$$a=-8 b=15$$

ხელახლა დაწერეთ 10x^{2}+7x-12, როგორც \left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right).

$$\left(10x^{2}-8x\right)+\left(15x-12\right)$$

2x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(5x-4\right)+3\left(5x-4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 5x-4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(5x-4\right)\left(2x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 5x-4=0 და 2x+3=0.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 10-ით a, 7-ით b და -12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 10\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40\left(-12\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -40-ზე -12.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2\times 10}$$

მიუმატეთ 49 480-ს.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2\times 10}$$

აიღეთ 529-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-7±23}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 10.

$$x=\frac{-7±23}{20}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±23}{20} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -7 23-ს.

$$x=\frac{16}{20}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{16}{20} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{4}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±23}{20} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 23 -7-ს.

$$x=-\frac{30}{20}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-30}{20} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 10-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+7x-12=0$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x^{2}+7x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$10x^{2}+7x=-\left(-12\right)$$

გამოაკელით -12 0-ს.

$$10x^{2}+7x=12$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$\frac{10x^{2}+7x}{10}=\frac{12}{10}$$

10-ზე გაყოფა აუქმებს 10-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{12}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{12}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x=\frac{6}{5}$$

გაყავით \frac{7}{10}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{7}{20}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{7}{20}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{6}{5}+\left(\frac{7}{20}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{7}{20} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{6}{5}+\frac{49}{400}$$

მიუმატეთ \frac{6}{5} \frac{49}{400}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{529}{400}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{529}{400}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{400}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{7}{20}=\frac{23}{20} x+\frac{7}{20}=-\frac{23}{20}$$

გამოაკელით \frac{7}{20} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{4}{5} x=-\frac{3}{2}$$