გადაწყვიტეთ 10x^2+32x-23=0

$$10 x ^ { 2 } + 32 x - 23 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}\approx 0.604540769$$

$$x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}\approx -3.804540769$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$10x^{2}+32x-23=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 10-ით a, 32-ით b და -23-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 10\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

აიყვანეთ კვადრატში 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 10\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 10.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-40\left(-23\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -40-ზე -23.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+920}}{2\times 10}$$

მიუმატეთ 1024 920-ს.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1944}}{2\times 10}$$

აიღეთ 1944-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 10.

$$x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -32 18\sqrt{6}-ს.

$$x=\frac{18\sqrt{6}-32}{20}$$

გაყავით -32+18\sqrt{6} 20-ზე.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-32±18\sqrt{6}}{20} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 18\sqrt{6} -32-ს.

$$x=\frac{-18\sqrt{6}-32}{20}$$

გაყავით -32-18\sqrt{6} 20-ზე.

$$x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5} x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+32x-23=0$$

მიუმატეთ 23 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x^{2}+32x-23-\left(-23\right)=-\left(-23\right)$$

-23-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$10x^{2}+32x=-\left(-23\right)$$

გამოაკელით -23 0-ს.

$$10x^{2}+32x=23$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$\frac{10x^{2}+32x}{10}=\frac{23}{10}$$

10-ზე გაყოფა აუქმებს 10-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{32}{10}x=\frac{23}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{32}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x=\frac{23}{10}$$

გაყავით \frac{16}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{8}{5}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{8}{5}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{23}{10}+\left(\frac{8}{5}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{8}{5} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{23}{10}+\frac{64}{25}$$

მიუმატეთ \frac{23}{10} \frac{64}{25}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}=\frac{243}{50}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{16}{5}x+\frac{64}{25}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}=\frac{243}{50}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{243}{50}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{8}{5}=\frac{9\sqrt{6}}{10} x+\frac{8}{5}=-\frac{9\sqrt{6}}{10}$$

გამოაკელით \frac{8}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5} x=-\frac{9\sqrt{6}}{10}-\frac{8}{5}$$