გადაწყვიტეთ 10x^2+2x-25=100

$$10 x ^ { 2 } + 2 x - 25 = 100$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{3 \sqrt{139} - 1}{10} \approx 3.436947837$$

$$x=\frac{-3\sqrt{139}-1}{10}\approx -3.636947837$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$10x^{2}+2x-25=100$$

გამოაკელით 100 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x^{2}+2x-25-100=100-100$$

100-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$10x^{2}+2x-25-100=0$$

გამოაკელით 100 -25-ს.

$$10x^{2}+2x-125=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 10-ით a, 2-ით b და -125-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 10\left(-125\right)}}{2\times 10}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 10\left(-125\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 10.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-40\left(-125\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -40-ზე -125.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+5000}}{2\times 10}$$

მიუმატეთ 4 5000-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{5004}}{2\times 10}$$

აიღეთ 5004-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±6\sqrt{139}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 10.

$$x=\frac{-2±6\sqrt{139}}{20}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±6\sqrt{139}}{20} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 6\sqrt{139}-ს.

$$x=\frac{6\sqrt{139}-2}{20}$$

გაყავით -2+6\sqrt{139} 20-ზე.

$$x=\frac{3\sqrt{139}-1}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±6\sqrt{139}}{20} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6\sqrt{139} -2-ს.

$$x=\frac{-6\sqrt{139}-2}{20}$$

გაყავით -2-6\sqrt{139} 20-ზე.

$$x=\frac{-3\sqrt{139}-1}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{3\sqrt{139}-1}{10} x=\frac{-3\sqrt{139}-1}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$10x^{2}+2x-25=100$$

მიუმატეთ 25 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10x^{2}+2x-25-\left(-25\right)=100-\left(-25\right)$$

-25-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$10x^{2}+2x=100-\left(-25\right)$$

გამოაკელით -25 100-ს.

$$10x^{2}+2x=125$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$\frac{10x^{2}+2x}{10}=\frac{125}{10}$$

10-ზე გაყოფა აუქმებს 10-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{10}x=\frac{125}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{125}{10}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{125}{10} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 5-ის შეკვეცით.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x=\frac{25}{2}$$

გაყავით \frac{1}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{25}{2}+\left(\frac{1}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{25}{2}+\frac{1}{100}$$

მიუმატეთ \frac{25}{2} \frac{1}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{1251}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{1251}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1251}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{10}=\frac{3\sqrt{139}}{10} x+\frac{1}{10}=-\frac{3\sqrt{139}}{10}$$

გამოაკელით \frac{1}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{3\sqrt{139}-1}{10} x=\frac{-3\sqrt{139}-1}{10}$$