გადაწყვიტეთ 10k^2+9k-1=0

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

ამოხსნა k-ისთვის

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0.1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 10k^{2}+ak+bk-1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -10.

$$-1,10 -2,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 9.

$$a=-1 b=10$$

ხელახლა დაწერეთ 10k^{2}+9k-1, როგორც \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right).

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ k 10k^{2}-k-ში.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 10k-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 10k-1=0 და k+1=0.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 10-ით a, 9-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 10.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ -40-ზე -1.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

მიუმატეთ 81 40-ს.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

აიღეთ 121-ის კვადრატული ფესვი.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 10.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება k=\frac{-9±11}{20} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -9 11-ს.

$$k=\frac{2}{20}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{20} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$k=\frac{1}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება k=\frac{-9±11}{20} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 11 -9-ს.

$$k=-\frac{20}{20}$$

გაყავით -20 20-ზე.

$$k=-1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$10k^{2}+9k=1$$

ორივე მხარე გაყავით 10-ზე.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

10-ზე გაყოფა აუქმებს 10-ზე გამრავლებას.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

გაყავით \frac{9}{10}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{9}{20}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{9}{20}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{9}{20} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

მიუმატეთ \frac{1}{10} \frac{81}{400}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

დაშალეთ მამრავლებად k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

გაამარტივეთ.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

გამოაკელით \frac{9}{20} განტოლების ორივე მხარეს.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$