გადაწყვიტეთ 10x^2+10x+8=3x^2-10x+11

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0.142857143$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 3x^{2} ორივე მხარეს.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

დააჯგუფეთ 10x^{2} და -3x^{2}, რათა მიიღოთ 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

დაამატეთ 10x ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

დააჯგუფეთ 10x და 10x, რათა მიიღოთ 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

გამოაკელით 11 ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

გამოაკელით 11 8-ს -3-ის მისაღებად.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც 7x^{2}+ax+bx-3. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -21.

$$-1,21 -3,7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 20.

$$a=-1 b=21$$

ხელახლა დაწერეთ 7x^{2}+20x-3, როგორც \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right).

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 7x-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 7x-1=0 და x+3=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოაკელით 3x^{2} ორივე მხარეს.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

დააჯგუფეთ 10x^{2} და -3x^{2}, რათა მიიღოთ 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

დაამატეთ 10x ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

დააჯგუფეთ 10x და 10x, რათა მიიღოთ 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

გამოაკელით 11 ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

გამოაკელით 11 8-ს -3-ის მისაღებად.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 7-ით a, 20-ით b და -3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

აიყვანეთ კვადრატში 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -4-ზე 7.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ -28-ზე -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

მიუმატეთ 400 84-ს.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

აიღეთ 484-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

გაამრავლეთ 2-ზე 7.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-20±22}{14} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -20 22-ს.

$$x=\frac{2}{14}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{2}{14} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{7}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-20±22}{14} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 22 -20-ს.

$$x=-\frac{42}{14}$$

გაყავით -42 14-ზე.

$$x=-3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოაკელით 3x^{2} ორივე მხარეს.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

დააჯგუფეთ 10x^{2} და -3x^{2}, რათა მიიღოთ 7x^{2}.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

დაამატეთ 10x ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

დააჯგუფეთ 10x და 10x, რათა მიიღოთ 20x.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

გამოაკელით 8 ორივე მხარეს.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

გამოაკელით 8 11-ს 3-ის მისაღებად.

$$7x^{2}+20x=3$$

ორივე მხარე გაყავით 7-ზე.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

7-ზე გაყოფა აუქმებს 7-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

გაყავით \frac{20}{7}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{10}{7}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{10}{7}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{10}{7} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

მიუმატეთ \frac{3}{7} \frac{100}{49}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

გამოაკელით \frac{10}{7} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$