გადაწყვიტეთ 1=-90x/x+90+x

$$1 = \frac { - 90 x } { x + 90 } + x$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-9$$

$$x=10$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -90-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ x+90-ზე.

$$x+90=-90x+\left(x+90\right)x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+90 x-ზე.

$$x+90=-90x+x^{2}+90x$$

დააჯგუფეთ -90x და 90x, რათა მიიღოთ 0.

$$x+90=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x+90-x^{2}=0$$

გადაალაგეთ პოლინომები სტანდარტულ ფორმაში მოსაყვანად. განალაგეთ წევრები უდიდესიდან უმცირეს ხარისხამდე.

$$-x^{2}+x+90=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+90. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=1 ab=-90=-90$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -90.

$$-1,90 -2,45 -3,30 -5,18 -6,15 -9,10$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+90=89 -2+45=43 -3+30=27 -5+18=13 -6+15=9 -9+10=1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 1.

$$a=10 b=-9$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}+x+90, როგორც \left(-x^{2}+10x\right)+\left(-9x+90\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(-9x+90\right)$$

-x-ის პირველ, -9-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(x-10\right)-9\left(x-10\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-10 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-10\right)\left(-x-9\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-10=0 და -x-9=0.

$$x=10 x=-9$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -90-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ x+90-ზე.

$$x+90=-90x+\left(x+90\right)x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+90 x-ზე.

$$x+90=-90x+x^{2}+90x$$

დააჯგუფეთ -90x და 90x, რათა მიიღოთ 0.

$$x+90=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x+90-x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+x+90=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 1-ით b და 90-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 90}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 90}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 90}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 90.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+360}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 1 360-ს.

$$x=\frac{-1±\sqrt{361}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 361-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1±19}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-1±19}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±19}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1 19-ს.

$$x=\frac{18}{-2}$$

გაყავით 18 -2-ზე.

$$x=-9$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1±19}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 19 -1-ს.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

გაყავით -20 -2-ზე.

$$x=10$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-9 x=10$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ცვლადი x არ შეიძლება იყოს -90-ის ტოლი, ვინაიდან ნულზე გაყოფა არ არის განსაზღვრული. განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ x+90-ზე.

$$x+90=-90x+\left(x+90\right)x$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ x+90 x-ზე.

$$x+90=-90x+x^{2}+90x$$

დააჯგუფეთ -90x და 90x, რათა მიიღოთ 0.

$$x+90=x^{2}$$

გამოაკელით x^{2} ორივე მხარეს.

$$x+90-x^{2}=0$$

გამოაკელით 90 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$x-x^{2}=-90$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-90$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{90}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{90}{-1}$$

გაყავით 1 -1-ზე.

$$x^{2}-x=-\frac{90}{-1}$$

გაყავით -90 -1-ზე.

$$x^{2}-x=90$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=90+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=90+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 90 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{361}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{19}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{19}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=10 x=-9$$