გადაწყვიტეთ -5x^2-25x-15=0

$$-5 { x }^{ 2 } -25x-15=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2}\approx -0.697224362$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}\approx -4.302775638$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-5x^{2}-25x-15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -5-ით a, -25-ით b და -15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\left(-5\right)\left(-15\right)}}{2\left(-5\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -25.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\left(-5\right)\left(-15\right)}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -5.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625+20\left(-15\right)}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ 20-ზე -15.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-300}}{2\left(-5\right)}$$

მიუმატეთ 625 -300-ს.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{325}}{2\left(-5\right)}$$

აიღეთ 325-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±5\sqrt{13}}{2\left(-5\right)}$$

-25-ის საპირისპიროა 25.

$$x=\frac{25±5\sqrt{13}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -5.

$$x=\frac{25±5\sqrt{13}}{-10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{25±5\sqrt{13}}{-10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 25 5\sqrt{13}-ს.

$$x=\frac{5\sqrt{13}+25}{-10}$$

გაყავით 25+5\sqrt{13} -10-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{25±5\sqrt{13}}{-10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5\sqrt{13} 25-ს.

$$x=\frac{25-5\sqrt{13}}{-10}$$

გაყავით 25-5\sqrt{13} -10-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2} x=\frac{\sqrt{13}-5}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}-25x-15=0$$

მიუმატეთ 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x^{2}-25x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-5x^{2}-25x=-\left(-15\right)$$

გამოაკელით -15 0-ს.

$$-5x^{2}-25x=15$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$\frac{-5x^{2}-25x}{-5}=\frac{15}{-5}$$

-5-ზე გაყოფა აუქმებს -5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{25}{-5}\right)x=\frac{15}{-5}$$

გაყავით -25 -5-ზე.

$$x^{2}+5x=\frac{15}{-5}$$

გაყავით 15 -5-ზე.

$$x^{2}+5x=-3$$

გაყავით 5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ -3 \frac{25}{4}-ს.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{13}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$