გადაწყვიტეთ -4x^2-4x+24=0

$$-4 { x }^{ 2 } -4x+24=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-3$$

$$x=2$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 4-ზე.

$$-x^{2}-x+6=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+6. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -6.

$$1,-6 2,-3$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -1.

$$a=2 b=-3$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}-x+6, როგორც \left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+2 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+2=0 და x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-4x^{2}-4x+24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -4-ით a, -4-ით b და 24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-4\right)\times 24}}{2\left(-4\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-4\right)\times 24}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+16\times 24}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 16-ზე 24.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+384}}{2\left(-4\right)}$$

მიუმატეთ 16 384-ს.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{400}}{2\left(-4\right)}$$

აიღეთ 400-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±20}{2\left(-4\right)}$$

-4-ის საპირისპიროა 4.

$$x=\frac{4±20}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -4.

$$x=\frac{4±20}{-8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±20}{-8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 4 20-ს.

$$x=\frac{24}{-8}$$

გაყავით 24 -8-ზე.

$$x=-3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{4±20}{-8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 20 4-ს.

$$x=-\frac{16}{-8}$$

გაყავით -16 -8-ზე.

$$x=2$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3 x=2$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}-4x+24=0$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x^{2}-4x+24-24=-24$$

24-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-4x^{2}-4x=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$\frac{-4x^{2}-4x}{-4}=-\frac{24}{-4}$$

-4-ზე გაყოფა აუქმებს -4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{-4}\right)x=-\frac{24}{-4}$$

გაყავით -4 -4-ზე.

$$x^{2}+x=-\frac{24}{-4}$$

გაყავით -24 -4-ზე.

$$x^{2}+x=6$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ 6 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=2 x=-3$$