გადაწყვიტეთ -4x^2+20x-47=0

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2.5-2.34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2.5+2.34520788i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -4-ით a, 20-ით b და -47-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -4.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 16-ზე -47.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

მიუმატეთ 400 -752-ს.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

აიღეთ -352-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -4.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -20 4i\sqrt{22}-ს.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

გაყავით -20+4i\sqrt{22} -8-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4i\sqrt{22} -20-ს.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

გაყავით -20-4i\sqrt{22} -8-ზე.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

მიუმატეთ 47 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

-47-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

გამოაკელით -47 0-ს.

$$-4x^{2}+20x=47$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

-4-ზე გაყოფა აუქმებს -4-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

გაყავით 20 -4-ზე.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

გაყავით 47 -4-ზე.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

გაყავით -5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

მიუმატეთ -\frac{47}{4} \frac{25}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$