გადაწყვიტეთ -4a^2-3a+1=0

$$-4 { a }^{ 2 } -3a+1 = 0$$

ამოხსნა a-ისთვის

$$a=\frac{1}{4}=0.25$$

$$a=-1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -4a^{2}+aa+ba+1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -4.

$$1,-4 2,-2$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-4=-3 2-2=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -3.

$$a=1 b=-4$$

ხელახლა დაწერეთ -4a^{2}-3a+1, როგორც \left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right).

$$\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right)$$

-a-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-a\left(4a-1\right)-\left(4a-1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი 4a-1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(4a-1\right)\left(-a-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით 4a-1=0 და -a-1=0.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -4-ით a, -3-ით b და 1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -4.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

მიუმატეთ 9 16-ს.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

აიღეთ 25-ის კვადრატული ფესვი.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

-3-ის საპირისპიროა 3.

$$a=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -4.

$$a=\frac{3±5}{-8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება a=\frac{3±5}{-8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 3 5-ს.

$$a=\frac{8}{-8}$$

გაყავით 8 -8-ზე.

$$a=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება a=\frac{3±5}{-8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 5 3-ს.

$$a=-\frac{2}{-8}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-2}{-8} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$a=\frac{1}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$a=-1 a=\frac{1}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

გამოაკელით 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4a^{2}-3a+1-1=-1$$

1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-4a^{2}-3a=-1$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$\frac{-4a^{2}-3a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

-4-ზე გაყოფა აუქმებს -4-ზე გამრავლებას.

$$a^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

გაყავით -3 -4-ზე.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

გაყავით -1 -4-ზე.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}$$

გაყავით \frac{3}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

მიუმატეთ \frac{1}{4} \frac{9}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$a+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} a+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

გამოაკელით \frac{3}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$