გადაწყვიტეთ -144x^2+9x-9=0

$$-144 { x }^{ 2 } +9x-9 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}\approx 0.03125+0.248039185i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}\approx 0.03125-0.248039185i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -144-ით a, 9-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-144\right)\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -144.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+576\left(-9\right)}}{2\left(-144\right)}$$

გაამრავლეთ 576-ზე -9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-5184}}{2\left(-144\right)}$$

მიუმატეთ 81 -5184-ს.

$$x=\frac{-9±\sqrt{-5103}}{2\left(-144\right)}$$

აიღეთ -5103-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{2\left(-144\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -144.

$$x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -9 27i\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{-9+27\sqrt{7}i}{-288}$$

გაყავით -9+27i\sqrt{7} -288-ზე.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±27\sqrt{7}i}{-288} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 27i\sqrt{7} -9-ს.

$$x=\frac{-27\sqrt{7}i-9}{-288}$$

გაყავით -9-27i\sqrt{7} -288-ზე.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-144x^{2}+9x-9=0$$

მიუმატეთ 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-144x^{2}+9x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

-9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-144x^{2}+9x=-\left(-9\right)$$

გამოაკელით -9 0-ს.

$$-144x^{2}+9x=9$$

ორივე მხარე გაყავით -144-ზე.

$$\frac{-144x^{2}+9x}{-144}=\frac{9}{-144}$$

-144-ზე გაყოფა აუქმებს -144-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{9}{-144}x=\frac{9}{-144}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{9}{-144} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 9-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=\frac{9}{-144}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{9}{-144} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 9-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x=-\frac{1}{16}$$

გაყავით -\frac{1}{16}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{32}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{32}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{1}{16}+\left(-\frac{1}{32}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{32} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{1}{16}+\frac{1}{1024}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{16} \frac{1}{1024}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}=-\frac{63}{1024}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{1}{16}x+\frac{1}{1024}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}=-\frac{63}{1024}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{32}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{1024}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{32}=\frac{3\sqrt{7}i}{32} x-\frac{1}{32}=-\frac{3\sqrt{7}i}{32}$$

მიუმატეთ \frac{1}{32} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{32} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{32}$$