გადაწყვიტეთ -z^2-8z+9=0

$$- z ^ { 2 } - 8 z + 9 = 0$$

ამოხსნა z-ისთვის

$$z=-9$$

$$z=1$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -z^{2}+az+bz+9. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-8 ab=-9=-9$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -9.

$$1,-9 3,-3$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-9=-8 3-3=0$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -8.

$$a=1 b=-9$$

ხელახლა დაწერეთ -z^{2}-8z+9, როგორც \left(-z^{2}+z\right)+\left(-9z+9\right).

$$\left(-z^{2}+z\right)+\left(-9z+9\right)$$

z-ის პირველ, 9-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$z\left(-z+1\right)+9\left(-z+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -z+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-z+1\right)\left(z+9\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -z+1=0 და z+9=0.

$$z=1 z=-9$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-z^{2}-8z+9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -8-ით b და 9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -8.

$$z=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$z=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+4\times 9}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 9.

$$z=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+36}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 64 36-ს.

$$z=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 100-ის კვადრატული ფესვი.

$$z=\frac{-\left(-8\right)±10}{2\left(-1\right)}$$

-8-ის საპირისპიროა 8.

$$z=\frac{8±10}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$z=\frac{8±10}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{8±10}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 8 10-ს.

$$z=\frac{18}{-2}$$

გაყავით 18 -2-ზე.

$$z=-9$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{8±10}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 10 8-ს.

$$z=-\frac{2}{-2}$$

გაყავით -2 -2-ზე.

$$z=1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$z=-9 z=1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-z^{2}-8z+9=0$$

გამოაკელით 9 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-z^{2}-8z+9-9=-9$$

9-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-z^{2}-8z=-9$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-z^{2}-8z}{-1}=-\frac{9}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$z^{2}+\left(-\frac{8}{-1}\right)z=-\frac{9}{-1}$$

გაყავით -8 -1-ზე.

$$z^{2}+8z=-\frac{9}{-1}$$

გაყავით -9 -1-ზე.

$$z^{2}+8z=9$$

გაყავით 8, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, 4-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ 4-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$z^{2}+8z+4^{2}=9+4^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში 4.

$$z^{2}+8z+16=9+16$$

მიუმატეთ 9 16-ს.

$$z^{2}+8z+16=25$$

დაშალეთ მამრავლებად z^{2}+8z+16. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+4\right)^{2}=25$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(z+4\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

გაამარტივეთ.

$$z+4=5 z+4=-5$$

გამოაკელით 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$z=1 z=-9$$