გადაწყვიტეთ -y^2+6y+7=0

$$- y ^ { 2 } + 6 y + 7 = 0$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y=-1$$

$$y=7$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -y^{2}+ay+by+7. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=7 b=-1$$

ხელახლა დაწერეთ -y^{2}+6y+7, როგორც \left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right).

$$\left(-y^{2}+7y\right)+\left(-y+7\right)$$

-y-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-y\left(y-7\right)-\left(y-7\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი y-7 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(y-7\right)\left(-y-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით y-7=0 და -y-1=0.

$$y=7 y=-1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 6-ით b და 7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 6.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 7.

$$y=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 36 28-ს.

$$y=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 64-ის კვადრატული ფესვი.

$$y=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$y=\frac{-6±8}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-6±8}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -6 8-ს.

$$y=\frac{2}{-2}$$

გაყავით 2 -2-ზე.

$$y=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-6±8}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8 -6-ს.

$$y=-\frac{14}{-2}$$

გაყავით -14 -2-ზე.

$$y=7$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=-1 y=7$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+6y+7=0$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y^{2}+6y+7-7=-7$$

7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-y^{2}+6y=-7$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-y^{2}+6y}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}+\frac{6}{-1}y=-\frac{7}{-1}$$

გაყავით 6 -1-ზე.

$$y^{2}-6y=-\frac{7}{-1}$$

გაყავით -7 -1-ზე.

$$y^{2}-6y=7$$

გაყავით -6, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -3-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -3-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}-6y+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$y^{2}-6y+9=7+9$$

მიუმატეთ 7 9-ს.

$$y^{2}-6y+9=16$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}-6y+9. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-3\right)^{2}=16$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

გაამარტივეთ.

$$y-3=4 y-3=-4$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=7 y=-1$$