გადაწყვიტეთ -x^2-x-1=0

$$- x ^ { 2 } - x - 1 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}\approx -0.5-0.866025404i$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0.5+0.866025404i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}-x-1=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -1-ით b და -1-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 1 -4-ს.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ -3-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

-1-ის საპირისპიროა 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 1 i\sqrt{3}-ს.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{-2}$$

გაყავით 1+i\sqrt{3} -2-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{1±\sqrt{3}i}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{3} 1-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{-2}$$

გაყავით 1-i\sqrt{3} -2-ზე.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-x-1=0$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

გამოაკელით -1 0-ს.

$$-x^{2}-x=1$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=\frac{1}{-1}$$

გაყავით -1 -1-ზე.

$$x^{2}+x=\frac{1}{-1}$$

გაყავით 1 -1-ზე.

$$x^{2}+x=-1$$

გაყავით 1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ -1 \frac{1}{4}-ს.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

გამოაკელით \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{2}$$