გადაწყვიტეთ -x^2+8x+47=0

$$- x ^ { 2 } + 8 x + 47 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=3\sqrt{7}+4\approx 11.937253933$$

$$x=4-3\sqrt{7}\approx -3.937253933$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 8-ით b და 47-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 8.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\left(-1\right)\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+4\times 47}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 47.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+188}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 64 188-ს.

$$x=\frac{-8±\sqrt{252}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 252-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -8 6\sqrt{7}-ს.

$$x=\frac{6\sqrt{7}-8}{-2}$$

გაყავით -8+6\sqrt{7} -2-ზე.

$$x=4-3\sqrt{7}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-8±6\sqrt{7}}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6\sqrt{7} -8-ს.

$$x=\frac{-6\sqrt{7}-8}{-2}$$

გაყავით -8-6\sqrt{7} -2-ზე.

$$x=3\sqrt{7}+4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=4-3\sqrt{7} x=3\sqrt{7}+4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+8x+47=0$$

გამოაკელით 47 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+8x+47-47=-47$$

47-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}+8x=-47$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+8x}{-1}=-\frac{47}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{8}{-1}x=-\frac{47}{-1}$$

გაყავით 8 -1-ზე.

$$x^{2}-8x=-\frac{47}{-1}$$

გაყავით -47 -1-ზე.

$$x^{2}-8x=47$$

გაყავით -8, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -4-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -4-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=47+\left(-4\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x^{2}-8x+16=47+16$$

მიუმატეთ 47 16-ს.

$$x^{2}-8x+16=63$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-8x+16. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=63$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{63}$$

გაამარტივეთ.

$$x-4=3\sqrt{7} x-4=-3\sqrt{7}$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3\sqrt{7}+4 x=4-3\sqrt{7}$$