გადაწყვიტეთ -x^2+5x-12=0

$$- x ^ { 2 } + 5 x - 12 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{2}\approx 2.5-2.397915762i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{2}\approx 2.5+2.397915762i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+5x-12=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 5-ით b და -12-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-12\right)}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-12\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-12\right)}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 25 -48-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ -23-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 i\sqrt{23}-ს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-2}$$

გაყავით -5+i\sqrt{23} -2-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{23} -5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-2}$$

გაყავით -5-i\sqrt{23} -2-ზე.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x-12=0$$

მიუმატეთ 12 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+5x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

-12-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}+5x=-\left(-12\right)$$

გამოაკელით -12 0-ს.

$$-x^{2}+5x=12$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{12}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{12}{-1}$$

გაყავით 5 -1-ზე.

$$x^{2}-5x=\frac{12}{-1}$$

გაყავით 12 -1-ზე.

$$x^{2}-5x=-12$$

გაყავით -5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-12+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-12+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ -12 \frac{25}{4}-ს.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{23}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{23}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{23}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{23}i}{2}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{2} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{2}$$