გადაწყვიტეთ -x^2+2x+15=0

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-3$$

$$x=5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+15. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -15.

$$-1,15 -3,5$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 2.

$$a=5 b=-3$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}+2x+15, როგორც \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

-x-ის პირველ, -3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-5 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-5=0 და -x-3=0.

$$x=5 x=-3$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 2-ით b და 15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 4 60-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 64-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±8}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 8-ს.

$$x=\frac{6}{-2}$$

გაყავით 6 -2-ზე.

$$x=-3$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±8}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 8 -2-ს.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

გაყავით -10 -2-ზე.

$$x=5$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-3 x=5$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-x^{2}+2x=-15$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

გაყავით 2 -1-ზე.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

გაყავით -15 -1-ზე.

$$x^{2}-2x=15$$

გაყავით -2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

მიუმატეთ 15 1-ს.

$$x^{2}-2x+1=16$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

გაამარტივეთ.

$$x-1=4 x-1=-4$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=5 x=-3$$