გადაწყვიტეთ -9x^2+18x+68=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 18 x + 68 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx 3.924988129$$

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1\approx -1.924988129$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -9-ით a, 18-ით b და 68-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 18.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-9\right)\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -9.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+36\times 68}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ 36-ზე 68.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+2448}}{2\left(-9\right)}$$

მიუმატეთ 324 2448-ს.

$$x=\frac{-18±\sqrt{2772}}{2\left(-9\right)}$$

აიღეთ 2772-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -9.

$$x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -18 6\sqrt{77}-ს.

$$x=\frac{6\sqrt{77}-18}{-18}$$

გაყავით -18+6\sqrt{77} -18-ზე.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-18±6\sqrt{77}}{-18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6\sqrt{77} -18-ს.

$$x=\frac{-6\sqrt{77}-18}{-18}$$

გაყავით -18-6\sqrt{77} -18-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+18x+68=0$$

გამოაკელით 68 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9x^{2}+18x+68-68=-68$$

68-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-9x^{2}+18x=-68$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$\frac{-9x^{2}+18x}{-9}=-\frac{68}{-9}$$

-9-ზე გაყოფა აუქმებს -9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{18}{-9}x=-\frac{68}{-9}$$

გაყავით 18 -9-ზე.

$$x^{2}-2x=-\frac{68}{-9}$$

გაყავით -68 -9-ზე.

$$x^{2}-2x=\frac{68}{9}$$

გაყავით -2, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -1-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -1-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-2x+1=\frac{68}{9}+1$$

მიუმატეთ \frac{68}{9} 1-ს.

$$x^{2}-2x+1=\frac{77}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-2x+1. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{77}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-1=\frac{\sqrt{77}}{3} x-1=-\frac{\sqrt{77}}{3}$$

მიუმატეთ 1 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{77}}{3}+1 x=-\frac{\sqrt{77}}{3}+1$$