გადაწყვიტეთ -9x^2+12x-3=0

$$- 9 x ^ { 2 } + 12 x - 3 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=1$$

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$-3x^{2}+4x-1=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -3x^{2}+ax+bx-1. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=4 ab=-3\left(-1\right)=3$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=3 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ -3x^{2}+4x-1, როგორც \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(x-1\right)$$

3x-ის პირველ, -1-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$3x\left(-x+1\right)-\left(-x+1\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+1 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+1\right)\left(3x-1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+1=0 და 3x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -9-ით a, 12-ით b და -3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 12.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-9\right)\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -9.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+36\left(-3\right)}}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ 36-ზე -3.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-108}}{2\left(-9\right)}$$

მიუმატეთ 144 -108-ს.

$$x=\frac{-12±\sqrt{36}}{2\left(-9\right)}$$

აიღეთ 36-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-12±6}{2\left(-9\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -9.

$$x=\frac{-12±6}{-18}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±6}{-18} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -12 6-ს.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{-6}{-18} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 6-ის შეკვეცით.

$$x=\frac{1}{3}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-12±6}{-18} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 6 -12-ს.

$$x=-\frac{18}{-18}$$

გაყავით -18 -18-ზე.

$$x=1$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1}{3} x=1$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+12x-3=0$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-9x^{2}+12x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-9x^{2}+12x=-\left(-3\right)$$

გამოაკელით -3 0-ს.

$$-9x^{2}+12x=3$$

ორივე მხარე გაყავით -9-ზე.

$$\frac{-9x^{2}+12x}{-9}=\frac{3}{-9}$$

-9-ზე გაყოფა აუქმებს -9-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{12}{-9}x=\frac{3}{-9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{12}{-9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{3}{-9}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{3}{-9} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 3-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

გაყავით -\frac{4}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{2}{3}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{2}{3}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{3} \frac{4}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

მიუმატეთ \frac{2}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=1 x=\frac{1}{3}$$