გადაწყვიტეთ -7x^2+5x-4=0

$$- 7 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}\approx 0.357142857-0.666241361i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}\approx 0.357142857+0.666241361i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -7-ით a, 5-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-7\right)\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+28\left(-4\right)}}{2\left(-7\right)}$$

გაამრავლეთ 28-ზე -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-112}}{2\left(-7\right)}$$

მიუმატეთ 25 -112-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-87}}{2\left(-7\right)}$$

აიღეთ -87-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{2\left(-7\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 i\sqrt{87}-ს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{87}i}{-14}$$

გაყავით -5+i\sqrt{87} -14-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{87}i}{-14} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{87} -5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-5}{-14}$$

გაყავით -5-i\sqrt{87} -14-ზე.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14} x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-7x^{2}+5x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-7x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-7x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$-7x^{2}+5x=4$$

ორივე მხარე გაყავით -7-ზე.

$$\frac{-7x^{2}+5x}{-7}=\frac{4}{-7}$$

-7-ზე გაყოფა აუქმებს -7-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{-7}x=\frac{4}{-7}$$

გაყავით 5 -7-ზე.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=\frac{4}{-7}$$

გაყავით 4 -7-ზე.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x=-\frac{4}{7}$$

გაყავით -\frac{5}{7}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{14}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{14}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(-\frac{5}{14}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{14} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{4}{7}+\frac{25}{196}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{7} \frac{25}{196}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{87}{196}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{87}{196}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{196}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{87}i}{14} x-\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{87}i}{14}$$

მიუმატეთ \frac{5}{14} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5+\sqrt{87}i}{14} x=\frac{-\sqrt{87}i+5}{14}$$