გადაწყვიტეთ -5x^2+9x=-3

$$- 5 x ^ { 2 } + 9 x = - 3$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{141} + 9}{10} \approx 2.087434209$$

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}\approx -0.287434209$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=-3-\left(-3\right)$$

-3-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-5x^{2}+9x-\left(-3\right)=0$$

გამოაკელით -3 0-ს.

$$-5x^{2}+9x+3=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -5-ით a, 9-ით b და 3-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 9.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81-4\left(-5\right)\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+20\times 3}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ 20-ზე 3.

$$x=\frac{-9±\sqrt{81+60}}{2\left(-5\right)}$$

მიუმატეთ 81 60-ს.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -5.

$$x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -9 \sqrt{141}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{141}-9}{-10}$$

გაყავით -9+\sqrt{141} -10-ზე.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-9±\sqrt{141}}{-10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{141} -9-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{141}-9}{-10}$$

გაყავით -9-\sqrt{141} -10-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{9-\sqrt{141}}{10} x=\frac{\sqrt{141}+9}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+9x=-3$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$\frac{-5x^{2}+9x}{-5}=-\frac{3}{-5}$$

-5-ზე გაყოფა აუქმებს -5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{9}{-5}x=-\frac{3}{-5}$$

გაყავით 9 -5-ზე.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=-\frac{3}{-5}$$

გაყავით -3 -5-ზე.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x=\frac{3}{5}$$

გაყავით -\frac{9}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{9}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{9}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{9}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{9}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{3}{5}+\frac{81}{100}$$

მიუმატეთ \frac{3}{5} \frac{81}{100}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}=\frac{141}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{9}{5}x+\frac{81}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}=\frac{141}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{141}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{9}{10}=\frac{\sqrt{141}}{10} x-\frac{9}{10}=-\frac{\sqrt{141}}{10}$$

მიუმატეთ \frac{9}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{141}+9}{10} x=\frac{9-\sqrt{141}}{10}$$