გადაწყვიტეთ -5x^2+7x-10=0

$$- 5 x ^ { 2 } + 7 x - 10 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{151}i+7}{10}\approx 0.7-1.228820573i$$

$$x=\frac{7+\sqrt{151}i}{10}\approx 0.7+1.228820573i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-5x^{2}+7x-10=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -5-ით a, 7-ით b და -10-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-5\right)\left(-10\right)}}{2\left(-5\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-5\right)\left(-10\right)}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+20\left(-10\right)}}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ 20-ზე -10.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-200}}{2\left(-5\right)}$$

მიუმატეთ 49 -200-ს.

$$x=\frac{-7±\sqrt{-151}}{2\left(-5\right)}$$

აიღეთ -151-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-7±\sqrt{151}i}{2\left(-5\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{151}i}{-10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±\sqrt{151}i}{-10} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -7 i\sqrt{151}-ს.

$$x=\frac{-7+\sqrt{151}i}{-10}$$

გაყავით -7+i\sqrt{151} -10-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i+7}{10}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-7±\sqrt{151}i}{-10} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{151} -7-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i-7}{-10}$$

გაყავით -7-i\sqrt{151} -10-ზე.

$$x=\frac{7+\sqrt{151}i}{10}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{151}i+7}{10} x=\frac{7+\sqrt{151}i}{10}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+7x-10=0$$

მიუმატეთ 10 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-5x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-5x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

გამოაკელით -10 0-ს.

$$-5x^{2}+7x=10$$

ორივე მხარე გაყავით -5-ზე.

$$\frac{-5x^{2}+7x}{-5}=\frac{10}{-5}$$

-5-ზე გაყოფა აუქმებს -5-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{7}{-5}x=\frac{10}{-5}$$

გაყავით 7 -5-ზე.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=\frac{10}{-5}$$

გაყავით 10 -5-ზე.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x=-2$$

გაყავით -\frac{7}{5}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{7}{10}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{7}{10}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{7}{10}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{7}{10} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-2+\frac{49}{100}$$

მიუმატეთ -2 \frac{49}{100}-ს.

$$x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}=-\frac{151}{100}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{7}{5}x+\frac{49}{100}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}=-\frac{151}{100}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{151}{100}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{7}{10}=\frac{\sqrt{151}i}{10} x-\frac{7}{10}=-\frac{\sqrt{151}i}{10}$$

მიუმატეთ \frac{7}{10} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{7+\sqrt{151}i}{10} x=\frac{-\sqrt{151}i+7}{10}$$