გადაწყვიტეთ -4b^2+22b-4=0

$$- 4 b ^ { 2 } + 22 b - 4 = 0$$

ამოხსნა b-ისთვის

$$b = \frac{\sqrt{105} + 11}{4} \approx 5.311737691$$

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0.188262309$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -4-ით a, 22-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$b=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 22.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 16-ზე -4.

$$b=\frac{-22±\sqrt{484-64}}{2\left(-4\right)}$$

მიუმატეთ 484 -64-ს.

$$b=\frac{-22±\sqrt{420}}{2\left(-4\right)}$$

აიღეთ 420-ის კვადრატული ფესვი.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{2\left(-4\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -4.

$$b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -22 2\sqrt{105}-ს.

$$b=\frac{2\sqrt{105}-22}{-8}$$

გაყავით -22+2\sqrt{105} -8-ზე.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება b=\frac{-22±2\sqrt{105}}{-8} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{105} -22-ს.

$$b=\frac{-2\sqrt{105}-22}{-8}$$

გაყავით -22-2\sqrt{105} -8-ზე.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$b=\frac{11-\sqrt{105}}{4} b=\frac{\sqrt{105}+11}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-4b^{2}+22b-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-4b^{2}+22b-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-4b^{2}+22b=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$-4b^{2}+22b=4$$

ორივე მხარე გაყავით -4-ზე.

$$\frac{-4b^{2}+22b}{-4}=\frac{4}{-4}$$

-4-ზე გაყოფა აუქმებს -4-ზე გამრავლებას.

$$b^{2}+\frac{22}{-4}b=\frac{4}{-4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{22}{-4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=\frac{4}{-4}$$

გაყავით 4 -4-ზე.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b=-1$$

გაყავით -\frac{11}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=-1+\frac{121}{16}$$

მიუმატეთ -1 \frac{121}{16}-ს.

$$b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}=\frac{105}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად b^{2}-\frac{11}{2}b+\frac{121}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(b-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$b-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{105}}{4} b-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

მიუმატეთ \frac{11}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$b=\frac{\sqrt{105}+11}{4} b=\frac{11-\sqrt{105}}{4}$$