გადაწყვიტეთ -3x^2-9x+84=0

$$- 3 x ^ { 2 } - 9 x + 84 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-7$$

$$x=4$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$-x^{2}-3x+28=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+28. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-3 ab=-28=-28$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -28.

$$1,-28 2,-14 4,-7$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-28=-27 2-14=-12 4-7=-3$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -3.

$$a=4 b=-7$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}-3x+28, როგორც \left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right).

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-7x+28\right)$$

x-ის პირველ, 7-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(-x+4\right)+7\left(-x+4\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+4 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+4\right)\left(x+7\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+4=0 და x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, -9-ით b და 84-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-3\right)\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+12\times 84}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე 84.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1008}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 81 1008-ს.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1089}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ 1089-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±33}{2\left(-3\right)}$$

-9-ის საპირისპიროა 9.

$$x=\frac{9±33}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{9±33}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±33}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 9 33-ს.

$$x=\frac{42}{-6}$$

გაყავით 42 -6-ზე.

$$x=-7$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{9±33}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 33 9-ს.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

გაყავით -24 -6-ზე.

$$x=4$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-7 x=4$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-9x+84=0$$

გამოაკელით 84 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x^{2}-9x+84-84=-84$$

84-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-3x^{2}-9x=-84$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}-9x}{-3}=-\frac{84}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-3}\right)x=-\frac{84}{-3}$$

გაყავით -9 -3-ზე.

$$x^{2}+3x=-\frac{84}{-3}$$

გაყავით -84 -3-ზე.

$$x^{2}+3x=28$$

გაყავით 3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 28 \frac{9}{4}-ს.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+3x+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

გამოაკელით \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4 x=-7$$