გადაწყვიტეთ -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=4$$

$$x=13$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

ორივე მხარე გაყავით 3-ზე.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx-52. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 17.

$$a=13 b=4$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}+17x-52, როგორც \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

-x-ის პირველ, 4-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი x-13 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით x-13=0 და -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, 51-ით b და -156-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 2601 -1872-ს.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ 729-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-51±27}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -51 27-ს.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

გაყავით -24 -6-ზე.

$$x=4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-51±27}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 27 -51-ს.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

გაყავით -78 -6-ზე.

$$x=13$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=4 x=13$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

მიუმატეთ 156 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

-156-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

გამოაკელით -156 0-ს.

$$-3x^{2}+51x=156$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

გაყავით 51 -3-ზე.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

გაყავით 156 -3-ზე.

$$x^{2}-17x=-52$$

გაყავით -17, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{17}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{17}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{17}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

მიუმატეთ -52 \frac{289}{4}-ს.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-17x+\frac{289}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

მიუმატეთ \frac{17}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=13 x=4$$