გადაწყვიტეთ -3x^2+5x-4=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 5 x - 4 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}\approx 0.833333333-0.799305254i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}\approx 0.833333333+0.799305254i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -3-ით a, 5-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-3\right)\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+12\left(-4\right)}}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 12-ზე -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-48}}{2\left(-3\right)}$$

მიუმატეთ 25 -48-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-23}}{2\left(-3\right)}$$

აიღეთ -23-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{2\left(-3\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 i\sqrt{23}-ს.

$$x=\frac{-5+\sqrt{23}i}{-6}$$

გაყავით -5+i\sqrt{23} -6-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{23}i}{-6} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{23} -5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i-5}{-6}$$

გაყავით -5-i\sqrt{23} -6-ზე.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6} x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+5x-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-3x^{2}+5x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-3x^{2}+5x=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$-3x^{2}+5x=4$$

ორივე მხარე გაყავით -3-ზე.

$$\frac{-3x^{2}+5x}{-3}=\frac{4}{-3}$$

-3-ზე გაყოფა აუქმებს -3-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{-3}x=\frac{4}{-3}$$

გაყავით 5 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{4}{-3}$$

გაყავით 4 -3-ზე.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{4}{3}$$

გაყავით -\frac{5}{3}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{6}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{6}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{6} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{4}{3}+\frac{25}{36}$$

მიუმატეთ -\frac{4}{3} \frac{25}{36}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{23}{36}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{23}{36}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{36}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{23}i}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{23}i}{6}$$

მიუმატეთ \frac{5}{6} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{5+\sqrt{23}i}{6} x=\frac{-\sqrt{23}i+5}{6}$$