გადაწყვიტეთ -3(2x-1)+(x+1)(x-1)-5(x+2)=1

$$- 3 ( 2 x - 1 ) + ( x + 1 ) ( x - 1 ) - 5 ( x + 2 ) = 1$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{157} + 11}{2} \approx 11.764982043$$

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}\approx -0.764982043$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 2x-1-ზე.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

განვიხილოთ \left(x+1\right)\left(x-1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

გამოაკელით 1 3-ს 2-ის მისაღებად.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 x+2-ზე.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

დააჯგუფეთ -6x და -5x, რათა მიიღოთ -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

გამოაკელით 10 2-ს -8-ის მისაღებად.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

გამოაკელით 1 ორივე მხარეს.

$$-11x-8+x^{2}-1=0$$

გამოაკელით 1 -8-ს -9-ის მისაღებად.

$$-11x-9+x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$x^{2}-11x-9=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ 1-ით a, -11-ით b და -9-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-9\right)}}{2}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+36}}{2}$$

მიუმატეთ 121 36-ს.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{157}}{2}$$

-11-ის საპირისპიროა 11.

$$x=\frac{11±\sqrt{157}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 11 \sqrt{157}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{11±\sqrt{157}}{2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{157} 11-ს.

$$x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -3 2x-1-ზე.

$$-6x+3+\left(x+1\right)\left(x-1\right)-5\left(x+2\right)=1$$

განვიხილოთ \left(x+1\right)\left(x-1\right). გამრავლება შეიძლება გარდაიქმნას კვადრატების სხვაობად, შემდეგი წესის გამოყენებით: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. აიყვანეთ კვადრატში 1.

$$-6x+3+x^{2}-1-5\left(x+2\right)=1$$

გამოაკელით 1 3-ს 2-ის მისაღებად.

$$-6x+2+x^{2}-5\left(x+2\right)=1$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ -5 x+2-ზე.

$$-6x+2+x^{2}-5x-10=1$$

დააჯგუფეთ -6x და -5x, რათა მიიღოთ -11x.

$$-11x+2+x^{2}-10=1$$

გამოაკელით 10 2-ს -8-ის მისაღებად.

$$-11x-8+x^{2}=1$$

დაამატეთ 8 ორივე მხარეს.

$$-11x+x^{2}=1+8$$

შეკრიბეთ 1 და 8, რათა მიიღოთ 9.

$$-11x+x^{2}=9$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x=9$$

გაყავით -11, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{11}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{11}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{11}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=9+\frac{121}{4}$$

მიუმატეთ 9 \frac{121}{4}-ს.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{157}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-11x+\frac{121}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{157}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{\sqrt{157}}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{\sqrt{157}}{2}$$

მიუმატეთ \frac{11}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{157}+11}{2} x=\frac{11-\sqrt{157}}{2}$$