გადაწყვიტეთ -25x^2+21x-5=0

$$- 25 x ^ { 2 } + 21 x - 5 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}\approx 0.42-0.153622915i$$

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}\approx 0.42+0.153622915i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-25x^{2}+21x-5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -25-ით a, 21-ით b და -5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-21±\sqrt{21^{2}-4\left(-25\right)\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 21.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-4\left(-25\right)\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -25.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441+100\left(-5\right)}}{2\left(-25\right)}$$

გაამრავლეთ 100-ზე -5.

$$x=\frac{-21±\sqrt{441-500}}{2\left(-25\right)}$$

მიუმატეთ 441 -500-ს.

$$x=\frac{-21±\sqrt{-59}}{2\left(-25\right)}$$

აიღეთ -59-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{2\left(-25\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -25.

$$x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -21 i\sqrt{59}-ს.

$$x=\frac{-21+\sqrt{59}i}{-50}$$

გაყავით -21+i\sqrt{59} -50-ზე.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-21±\sqrt{59}i}{-50} როცა ± მინუსია. გამოაკელით i\sqrt{59} -21-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i-21}{-50}$$

გაყავით -21-i\sqrt{59} -50-ზე.

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50} x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-25x^{2}+21x-5=0$$

მიუმატეთ 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-25x^{2}+21x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

-5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-25x^{2}+21x=-\left(-5\right)$$

გამოაკელით -5 0-ს.

$$-25x^{2}+21x=5$$

ორივე მხარე გაყავით -25-ზე.

$$\frac{-25x^{2}+21x}{-25}=\frac{5}{-25}$$

-25-ზე გაყოფა აუქმებს -25-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{21}{-25}x=\frac{5}{-25}$$

გაყავით 21 -25-ზე.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x=\frac{5}{-25}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{5}{-25} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 5-ის შეკვეცით.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x=-\frac{1}{5}$$

გაყავით -\frac{21}{25}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{21}{50}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{21}{50}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\left(-\frac{21}{50}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(-\frac{21}{50}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{21}{50} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}=-\frac{1}{5}+\frac{441}{2500}$$

მიუმატეთ -\frac{1}{5} \frac{441}{2500}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}=-\frac{59}{2500}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{21}{25}x+\frac{441}{2500}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{50}\right)^{2}=-\frac{59}{2500}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{50}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{59}{2500}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{21}{50}=\frac{\sqrt{59}i}{50} x-\frac{21}{50}=-\frac{\sqrt{59}i}{50}$$

მიუმატეთ \frac{21}{50} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{21+\sqrt{59}i}{50} x=\frac{-\sqrt{59}i+21}{50}$$