გადაწყვიტეთ -2z^2+12z-4=0

$$- 2 z ^ { 2 } + 12 z - 4 = 0$$

ამოხსნა z-ისთვის

$$z=\sqrt{7}+3\approx 5.645751311$$

$$z=3-\sqrt{7}\approx 0.354248689$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-2z^{2}+12z-4=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -2-ით a, 12-ით b და -4-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-2\right)\left(-4\right)}}{2\left(-2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 12.

$$z=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-2\right)\left(-4\right)}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$z=\frac{-12±\sqrt{144+8\left(-4\right)}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 8-ზე -4.

$$z=\frac{-12±\sqrt{144-32}}{2\left(-2\right)}$$

მიუმატეთ 144 -32-ს.

$$z=\frac{-12±\sqrt{112}}{2\left(-2\right)}$$

აიღეთ 112-ის კვადრატული ფესვი.

$$z=\frac{-12±4\sqrt{7}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$z=\frac{-12±4\sqrt{7}}{-4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{-12±4\sqrt{7}}{-4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -12 4\sqrt{7}-ს.

$$z=\frac{4\sqrt{7}-12}{-4}$$

გაყავით -12+4\sqrt{7} -4-ზე.

$$z=3-\sqrt{7}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება z=\frac{-12±4\sqrt{7}}{-4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{7} -12-ს.

$$z=\frac{-4\sqrt{7}-12}{-4}$$

გაყავით -12-4\sqrt{7} -4-ზე.

$$z=\sqrt{7}+3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$z=3-\sqrt{7} z=\sqrt{7}+3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-2z^{2}+12z-4=0$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2z^{2}+12z-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-2z^{2}+12z=-\left(-4\right)$$

გამოაკელით -4 0-ს.

$$-2z^{2}+12z=4$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$\frac{-2z^{2}+12z}{-2}=\frac{4}{-2}$$

-2-ზე გაყოფა აუქმებს -2-ზე გამრავლებას.

$$z^{2}+\frac{12}{-2}z=\frac{4}{-2}$$

გაყავით 12 -2-ზე.

$$z^{2}-6z=\frac{4}{-2}$$

გაყავით 4 -2-ზე.

$$z^{2}-6z=-2$$

გაყავით -6, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -3-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -3-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$z^{2}-6z+\left(-3\right)^{2}=-2+\left(-3\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -3.

$$z^{2}-6z+9=-2+9$$

მიუმატეთ -2 9-ს.

$$z^{2}-6z+9=7$$

დაშალეთ მამრავლებად z^{2}-6z+9. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-3\right)^{2}=7$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(z-3\right)^{2}}=\sqrt{7}$$

გაამარტივეთ.

$$z-3=\sqrt{7} z-3=-\sqrt{7}$$

მიუმატეთ 3 განტოლების ორივე მხარეს.

$$z=\sqrt{7}+3 z=3-\sqrt{7}$$