გადაწყვიტეთ -2x^2+5x+5=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{65} + 5}{4} \approx 3.265564437$$

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}\approx -0.765564437$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-2x^{2}+5x+5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -2-ით a, 5-ით b და 5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+8\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 8-ზე 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+40}}{2\left(-2\right)}$$

მიუმატეთ 25 40-ს.

$$x=\frac{-5±\sqrt{65}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -5 \sqrt{65}-ს.

$$x=\frac{\sqrt{65}-5}{-4}$$

გაყავით -5+\sqrt{65} -4-ზე.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-5±\sqrt{65}}{-4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{65} -5-ს.

$$x=\frac{-\sqrt{65}-5}{-4}$$

გაყავით -5-\sqrt{65} -4-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{5-\sqrt{65}}{4} x=\frac{\sqrt{65}+5}{4}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+5x+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x^{2}+5x+5-5=-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-2x^{2}+5x=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$\frac{-2x^{2}+5x}{-2}=-\frac{5}{-2}$$

-2-ზე გაყოფა აუქმებს -2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{5}{-2}x=-\frac{5}{-2}$$

გაყავით 5 -2-ზე.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=-\frac{5}{-2}$$

გაყავით -5 -2-ზე.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}$$

გაყავით -\frac{5}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{5}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{5}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{5}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{5}{2}+\frac{25}{16}$$

მიუმატეთ \frac{5}{2} \frac{25}{16}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}=\frac{65}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{25}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{65}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{65}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{5}{4}=\frac{\sqrt{65}}{4} x-\frac{5}{4}=-\frac{\sqrt{65}}{4}$$

მიუმატეთ \frac{5}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{65}+5}{4} x=\frac{5-\sqrt{65}}{4}$$