გადაწყვიტეთ -2x^2+2x+15=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x = \frac{\sqrt{31} + 1}{2} \approx 3.283882181$$

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}\approx -2.283882181$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -2-ით a, 2-ით b და 15-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-2\right)\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+8\times 15}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 8-ზე 15.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+120}}{2\left(-2\right)}$$

მიუმატეთ 4 120-ს.

$$x=\frac{-2±\sqrt{124}}{2\left(-2\right)}$$

აიღეთ 124-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -2 2\sqrt{31}-ს.

$$x=\frac{2\sqrt{31}-2}{-4}$$

გაყავით -2+2\sqrt{31} -4-ზე.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-2±2\sqrt{31}}{-4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 2\sqrt{31} -2-ს.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}-2}{-4}$$

გაყავით -2-2\sqrt{31} -4-ზე.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=\frac{1-\sqrt{31}}{2} x=\frac{\sqrt{31}+1}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+2x+15=0$$

გამოაკელით 15 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x^{2}+2x+15-15=-15$$

15-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-2x^{2}+2x=-15$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$\frac{-2x^{2}+2x}{-2}=-\frac{15}{-2}$$

-2-ზე გაყოფა აუქმებს -2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{2}{-2}x=-\frac{15}{-2}$$

გაყავით 2 -2-ზე.

$$x^{2}-x=-\frac{15}{-2}$$

გაყავით -15 -2-ზე.

$$x^{2}-x=\frac{15}{2}$$

გაყავით -1, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{1}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{1}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{1}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15}{2}+\frac{1}{4}$$

მიუმატეთ \frac{15}{2} \frac{1}{4}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-x+\frac{1}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{31}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{31}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{31}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{31}}{2}$$

მიუმატეთ \frac{1}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=\frac{\sqrt{31}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{31}}{2}$$