გადაწყვიტეთ -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -2x^{2}+ax+bx+24. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b დადებითია, დადებით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე უარყოფით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია 13.

$$a=16 b=-3$$

ხელახლა დაწერეთ -2x^{2}+13x+24, როგორც \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

2x-ის პირველ, 3-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+8 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+8=0 და 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -2-ით a, 13-ით b და 24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 8-ზე 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

მიუმატეთ 169 192-ს.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

აიღეთ 361-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±19}{-4} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -13 19-ს.

$$x=\frac{6}{-4}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{6}{-4} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 2-ის შეკვეცით.

$$x=-\frac{3}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-13±19}{-4} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 19 -13-ს.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

გაყავით -32 -4-ზე.

$$x=8$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

გამოაკელით 24 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

24-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -2-ზე.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

-2-ზე გაყოფა აუქმებს -2-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

გაყავით 13 -2-ზე.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

გაყავით -24 -2-ზე.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

გაყავით -\frac{13}{2}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{13}{4}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{13}{4}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{13}{4} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

მიუმატეთ 12 \frac{169}{16}-ს.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

მიუმატეთ \frac{13}{4} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$