გადაწყვიტეთ -16t^2+64t+80=128

$$- 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80 = 128$$

ამოხსნა t-ისთვის

$$t=1$$

$$t=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოაკელით 128 ორივე მხარეს.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

გამოაკელით 128 80-ს -48-ის მისაღებად.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

ორივე მხარე გაყავით 16-ზე.

$$-t^{2}+4t-3=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -t^{2}+at+bt-3. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=4 ab=-\left(-3\right)=3$$

რადგან ab დადებითია, a-სა და b-ს ერთნაირი ნიშნები აქვთ. რადგან a+b დადებითია, ორივე, a და b დადებითია. ერთადერთი ასეთი წყვილი არის სისტემის ამონახსნი.

$$a=3 b=1$$

ხელახლა დაწერეთ -t^{2}+4t-3, როგორც \left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right).

$$\left(-t^{2}+3t\right)+\left(t-3\right)$$

მამრავლებად დაშალეთ -t -t^{2}+3t-ში.

$$-t\left(t-3\right)+t-3$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი t-3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(t-3\right)\left(-t+1\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით t-3=0 და -t+1=0.

$$t=3 t=1$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

გამოაკელით 128 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-16t^{2}+64t+80-128=128-128$$

128-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-16t^{2}+64t+80-128=0$$

გამოაკელით 128 80-ს.

$$-16t^{2}+64t-48=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -16-ით a, 64-ით b და -48-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 64.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\left(-48\right)}}{2\left(-16\right)}$$

გაამრავლეთ 64-ზე -48.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-3072}}{2\left(-16\right)}$$

მიუმატეთ 4096 -3072-ს.

$$t=\frac{-64±\sqrt{1024}}{2\left(-16\right)}$$

აიღეთ 1024-ის კვადრატული ფესვი.

$$t=\frac{-64±32}{2\left(-16\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -16.

$$t=\frac{-64±32}{-32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{-64±32}{-32} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -64 32-ს.

$$t=-\frac{32}{-32}$$

გაყავით -32 -32-ზე.

$$t=1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{-64±32}{-32} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 32 -64-ს.

$$t=-\frac{96}{-32}$$

გაყავით -96 -32-ზე.

$$t=3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$t=1 t=3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+64t+80=128$$

გამოაკელით 80 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-16t^{2}+64t+80-80=128-80$$

80-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-16t^{2}+64t=128-80$$

გამოაკელით 80 128-ს.

$$-16t^{2}+64t=48$$

ორივე მხარე გაყავით -16-ზე.

$$\frac{-16t^{2}+64t}{-16}=\frac{48}{-16}$$

-16-ზე გაყოფა აუქმებს -16-ზე გამრავლებას.

$$t^{2}+\frac{64}{-16}t=\frac{48}{-16}$$

გაყავით 64 -16-ზე.

$$t^{2}-4t=\frac{48}{-16}$$

გაყავით 48 -16-ზე.

$$t^{2}-4t=-3$$

გაყავით -4, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -2-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -2-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$t^{2}-4t+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -2.

$$t^{2}-4t+4=-3+4$$

მიუმატეთ -3 4-ს.

$$t^{2}-4t+4=1$$

დაშალეთ მამრავლებად t^{2}-4t+4. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-2\right)^{2}=1$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(t-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

გაამარტივეთ.

$$t-2=1 t-2=-1$$

მიუმატეთ 2 განტოლების ორივე მხარეს.

$$t=3 t=1$$