გადაწყვიტეთ -16t^2+36t+7=0

$$- 16 t ^ { 2 } + 36 t + 7 = 0$$

ამოხსნა t-ისთვის

$$t = \frac{\sqrt{109} + 9}{8} \approx 2.430038314$$

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}\approx -0.180038314$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -16-ით a, 36-ით b და 7-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 36.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296-4\left(-16\right)\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -16.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+64\times 7}}{2\left(-16\right)}$$

გაამრავლეთ 64-ზე 7.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1296+448}}{2\left(-16\right)}$$

მიუმატეთ 1296 448-ს.

$$t=\frac{-36±\sqrt{1744}}{2\left(-16\right)}$$

აიღეთ 1744-ის კვადრატული ფესვი.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{2\left(-16\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -16.

$$t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -36 4\sqrt{109}-ს.

$$t=\frac{4\sqrt{109}-36}{-32}$$

გაყავით -36+4\sqrt{109} -32-ზე.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება t=\frac{-36±4\sqrt{109}}{-32} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 4\sqrt{109} -36-ს.

$$t=\frac{-4\sqrt{109}-36}{-32}$$

გაყავით -36-4\sqrt{109} -32-ზე.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$t=\frac{9-\sqrt{109}}{8} t=\frac{\sqrt{109}+9}{8}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-16t^{2}+36t+7=0$$

გამოაკელით 7 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-16t^{2}+36t+7-7=-7$$

7-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-16t^{2}+36t=-7$$

ორივე მხარე გაყავით -16-ზე.

$$\frac{-16t^{2}+36t}{-16}=-\frac{7}{-16}$$

-16-ზე გაყოფა აუქმებს -16-ზე გამრავლებას.

$$t^{2}+\frac{36}{-16}t=-\frac{7}{-16}$$

შეამცირეთ წილადი \frac{36}{-16} უმცირეს წევრებამდე გამოკლებით და 4-ის შეკვეცით.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=-\frac{7}{-16}$$

გაყავით -7 -16-ზე.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t=\frac{7}{16}$$

გაყავით -\frac{9}{4}, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{9}{8}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{9}{8}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{7}{16}+\left(-\frac{9}{8}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{9}{8} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{7}{16}+\frac{81}{64}$$

მიუმატეთ \frac{7}{16} \frac{81}{64}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}=\frac{109}{64}$$

დაშალეთ მამრავლებად t^{2}-\frac{9}{4}t+\frac{81}{64}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}=\frac{109}{64}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(t-\frac{9}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{64}}$$

გაამარტივეთ.

$$t-\frac{9}{8}=\frac{\sqrt{109}}{8} t-\frac{9}{8}=-\frac{\sqrt{109}}{8}$$

მიუმატეთ \frac{9}{8} განტოლების ორივე მხარეს.

$$t=\frac{\sqrt{109}+9}{8} t=\frac{9-\sqrt{109}}{8}$$