გადაწყვიტეთ -1/5x^2+3x+16/5=0

$$- \frac{ 1 }{ 5 } { x }^{ 2 } +3x+ \frac{ 16 }{ 5 } =0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-1$$

$$x=16$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{5}-ით a, 3-ით b და \frac{16}{5}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-\frac{1}{5}\right)\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{4}{5}\times \frac{16}{5}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

გაამრავლეთ \frac{4}{5}-ზე \frac{16}{5} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\frac{64}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

მიუმატეთ 9 \frac{64}{25}-ს.

$$x=\frac{-3±\sqrt{\frac{289}{25}}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

აიღეთ \frac{289}{25}-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{2\left(-\frac{1}{5}\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{1}{5}.

$$x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 \frac{17}{5}-ს.

$$x=\frac{\frac{2}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

გაყავით \frac{2}{5} -\frac{2}{5}-ზე \frac{2}{5}-ის გამრავლებით -\frac{2}{5}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-1$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-3±\frac{17}{5}}{-\frac{2}{5}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \frac{17}{5} -3-ს.

$$x=-\frac{\frac{32}{5}}{-\frac{2}{5}}$$

გაყავით -\frac{32}{5} -\frac{2}{5}-ზე -\frac{32}{5}-ის გამრავლებით -\frac{2}{5}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=16$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-1 x=16$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}=0$$

გამოაკელით \frac{16}{5} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x+\frac{16}{5}-\frac{16}{5}=-\frac{16}{5}$$

\frac{16}{5}-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-\frac{1}{5}x^{2}+3x=-\frac{16}{5}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -5-ზე.

$$\frac{-\frac{1}{5}x^{2}+3x}{-\frac{1}{5}}=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

-\frac{1}{5}-ზე გაყოფა აუქმებს -\frac{1}{5}-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{3}{-\frac{1}{5}}x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

გაყავით 3 -\frac{1}{5}-ზე 3-ის გამრავლებით -\frac{1}{5}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-15x=-\frac{\frac{16}{5}}{-\frac{1}{5}}$$

გაყავით -\frac{16}{5} -\frac{1}{5}-ზე -\frac{16}{5}-ის გამრავლებით -\frac{1}{5}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-15x=16$$

გაყავით -15, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{15}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{15}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=16+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{15}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=16+\frac{225}{4}$$

მიუმატეთ 16 \frac{225}{4}-ს.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{289}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-15x+\frac{225}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{17}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{17}{2}$$

მიუმატეთ \frac{15}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=16 x=-1$$