გადაწყვიტეთ -1/12x^2+2/3x+5/3=0

$$- \frac { 1 } { 12 } x ^ { 2 } + \frac { 2 } { 3 } x + \frac { 5 } { 3 } = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

$$x=10$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -\frac{1}{12}-ით a, \frac{2}{3}-ით b და \frac{5}{3}-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^{2}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{2}{3} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}-4\left(-\frac{1}{12}\right)\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{1}{3}\times \frac{5}{3}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

გაამრავლეთ \frac{1}{3}-ზე \frac{5}{3} მრიცხველის მრიცხველზე და მნიშვნელის მნიშვნელზე გამრავლების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრებამდე.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{\frac{4+5}{9}}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

მიუმატეთ \frac{4}{9} \frac{5}{9}-ს საერთო მნიშვნელის გამოთვლის და მრიცხველების შეკრების გზით. შემდეგ, თუ შესაძლებელია, შეკვეცეთ წილადი უმცირეს წევრამდე.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±\sqrt{1}}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

აიღეთ 1-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{2\left(-\frac{1}{12}\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -\frac{2}{3} 1-ს.

$$x=\frac{\frac{1}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

გაყავით \frac{1}{3} -\frac{1}{6}-ზე \frac{1}{3}-ის გამრავლებით -\frac{1}{6}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=-2$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-\frac{2}{3}±1}{-\frac{1}{6}} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 1 -\frac{2}{3}-ს.

$$x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{6}}$$

გაყავით -\frac{5}{3} -\frac{1}{6}-ზე -\frac{5}{3}-ის გამრავლებით -\frac{1}{6}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x=10$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-2 x=10$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}=0$$

გამოაკელით \frac{5}{3} განტოლების ორივე მხარეს.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}-\frac{5}{3}=-\frac{5}{3}$$

\frac{5}{3}-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{5}{3}$$

ორივე მხარე გაამრავლეთ -12-ზე.

$$\frac{-\frac{1}{12}x^{2}+\frac{2}{3}x}{-\frac{1}{12}}=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

-\frac{1}{12}-ზე გაყოფა აუქმებს -\frac{1}{12}-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{1}{12}}x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

გაყავით \frac{2}{3} -\frac{1}{12}-ზე \frac{2}{3}-ის გამრავლებით -\frac{1}{12}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-8x=-\frac{\frac{5}{3}}{-\frac{1}{12}}$$

გაყავით -\frac{5}{3} -\frac{1}{12}-ზე -\frac{5}{3}-ის გამრავლებით -\frac{1}{12}-ის შექცეულ სიდიდეზე.

$$x^{2}-8x=20$$

გაყავით -8, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -4-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -4-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=20+\left(-4\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x^{2}-8x+16=20+16$$

მიუმატეთ 20 16-ს.

$$x^{2}-8x+16=36$$

მამრავლებად დაშალეთ x^{2}-8x+16. საერთოდ, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა შემდეგნაირად: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=36$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

გაამარტივეთ.

$$x-4=6 x-4=-6$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=10 x=-2$$