გადაწყვიტეთ (1+x/2)(1000-200x)+500(1+x)=14400

$$(1+ \frac{ x }{ 2 } )(1000-200x)+500(1+x)=14400$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=4+\sqrt{113}i\approx 4+10.630145813i$$

$$x=-\sqrt{113}i+4\approx 4-10.630145813i$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 1+\frac{x}{2}-ზე.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

გამოხატეთ 2\times \frac{x}{2} ერთიანი წილადის სახით.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

გააბათილეთ 2 და 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

გამოიყენეთ დისტრიბუტულობის თვისება და გაამრავლეთ 2+x-ის თითოეული წევრი 1000-200x-ის თითოეულ წევრზე.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

დააჯგუფეთ -400x და 1000x, რათა მიიღოთ 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 1000 1+x-ზე.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

შეკრიბეთ 2000 და 1000, რათა მიიღოთ 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

დააჯგუფეთ 600x და 1000x, რათა მიიღოთ 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

გამოაკელით 28800 ორივე მხარეს.

$$3000+1600x-200x^{2}-28800=0$$

გამოაკელით 28800 3000-ს -25800-ის მისაღებად.

$$-25800+1600x-200x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-200x^{2}+1600x-25800=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -200-ით a, 1600-ით b და -25800-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{1600^{2}-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 1600.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-4\left(-200\right)\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -200.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000+800\left(-25800\right)}}{2\left(-200\right)}$$

გაამრავლეთ 800-ზე -25800.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{2560000-20640000}}{2\left(-200\right)}$$

მიუმატეთ 2560000 -20640000-ს.

$$x=\frac{-1600±\sqrt{-18080000}}{2\left(-200\right)}$$

აიღეთ -18080000-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{2\left(-200\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -200.

$$x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -1600 400i\sqrt{113}-ს.

$$x=\frac{-1600+400\sqrt{113}i}{-400}$$

გაყავით -1600+400i\sqrt{113} -400-ზე.

$$x=-\sqrt{113}i+4$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{-1600±400\sqrt{113}i}{-400} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 400i\sqrt{113} -1600-ს.

$$x=\frac{-400\sqrt{113}i-1600}{-400}$$

გაყავით -1600-400i\sqrt{113} -400-ზე.

$$x=4+\sqrt{113}i$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-\sqrt{113}i+4 x=4+\sqrt{113}i$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

განტოლების ორივე მხარე გაამრავლეთ 2-ზე.

$$2\left(1+\frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 1+\frac{x}{2}-ზე.

$$\left(2+2\times \frac{x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

გამოხატეთ 2\times \frac{x}{2} ერთიანი წილადის სახით.

$$\left(2+\frac{2x}{2}\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

გააბათილეთ 2 და 2.

$$\left(2+x\right)\left(1000-200x\right)+1000\left(1+x\right)=28800$$

გამოიყენეთ დისტრიბუტულობის თვისება და გაამრავლეთ 2+x-ის თითოეული წევრი 1000-200x-ის თითოეულ წევრზე.

$$2000-400x+1000x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

დააჯგუფეთ -400x და 1000x, რათა მიიღოთ 600x.

$$2000+600x-200x^{2}+1000\left(1+x\right)=28800$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 1000 1+x-ზე.

$$2000+600x-200x^{2}+1000+1000x=28800$$

შეკრიბეთ 2000 და 1000, რათა მიიღოთ 3000.

$$3000+600x-200x^{2}+1000x=28800$$

დააჯგუფეთ 600x და 1000x, რათა მიიღოთ 1600x.

$$3000+1600x-200x^{2}=28800$$

გამოაკელით 3000 ორივე მხარეს.

$$1600x-200x^{2}=28800-3000$$

გამოაკელით 3000 28800-ს 25800-ის მისაღებად.

$$1600x-200x^{2}=25800$$

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-200x^{2}+1600x=25800$$

ორივე მხარე გაყავით -200-ზე.

$$\frac{-200x^{2}+1600x}{-200}=\frac{25800}{-200}$$

-200-ზე გაყოფა აუქმებს -200-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\frac{1600}{-200}x=\frac{25800}{-200}$$

გაყავით 1600 -200-ზე.

$$x^{2}-8x=\frac{25800}{-200}$$

გაყავით 25800 -200-ზე.

$$x^{2}-8x=-129$$

გაყავით -8, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -4-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -4-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}-8x+\left(-4\right)^{2}=-129+\left(-4\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -4.

$$x^{2}-8x+16=-129+16$$

მიუმატეთ -129 16-ს.

$$x^{2}-8x+16=-113$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}-8x+16. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-4\right)^{2}=-113$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x-4\right)^{2}}=\sqrt{-113}$$

გაამარტივეთ.

$$x-4=\sqrt{113}i x-4=-\sqrt{113}i$$

მიუმატეთ 4 განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=4+\sqrt{113}i x=-\sqrt{113}i+4$$