გადაწყვიტეთ (-y^2+3y+5=0)

$$(- { y }^{ 2 } +3y+5=0)$$

ამოხსნა y-ისთვის

$$y = \frac{\sqrt{29} + 3}{2} \approx 4.192582404$$

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}\approx -1.192582404$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლება შეიძლება ამოიხსნას კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. კვადრატული ფორმულა ორ ამონახსნს გვაძლევს: ერთი, როცა ± შეკრებაა და მეორე, როცა გამოკლებაა.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, 3-ით b და 5-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში 3.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+4\times 5}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 5.

$$y=\frac{-3±\sqrt{9+20}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 9 20-ს.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ -3 \sqrt{29}-ს.

$$y=\frac{\sqrt{29}-3}{-2}$$

გაყავით -3+\sqrt{29} -2-ზე.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება y=\frac{-3±\sqrt{29}}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით \sqrt{29} -3-ს.

$$y=\frac{-\sqrt{29}-3}{-2}$$

გაყავით -3-\sqrt{29} -2-ზე.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$y=\frac{3-\sqrt{29}}{2} y=\frac{\sqrt{29}+3}{2}$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

ამის მსგავსი კვადრატული განტოლებების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატის გამოთვლით. კვადრატის გამოსათვლელად, განტოლებამ ჯერ უნდა მიიღოს შემდეგი ფორმა: x^{2}+bx=c.

$$-y^{2}+3y+5=0$$

გამოაკელით 5 განტოლების ორივე მხარეს.

$$-y^{2}+3y+5-5=-5$$

5-იდან იმავე რიცხვის გამოკლების შედეგია 0.

$$-y^{2}+3y=-5$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-y^{2}+3y}{-1}=-\frac{5}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$y^{2}+\frac{3}{-1}y=-\frac{5}{-1}$$

გაყავით 3 -1-ზე.

$$y^{2}-3y=-\frac{5}{-1}$$

გაყავით -5 -1-ზე.

$$y^{2}-3y=5$$

გაყავით -3, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, -\frac{3}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ -\frac{3}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში -\frac{3}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=5+\frac{9}{4}$$

მიუმატეთ 5 \frac{9}{4}-ს.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{29}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად y^{2}-3y+\frac{9}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{29}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{29}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$y-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{29}}{2} y-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{29}}{2}$$

მიუმატეთ \frac{3}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$y=\frac{\sqrt{29}+3}{2} y=\frac{3-\sqrt{29}}{2}$$