გადაწყვიტეთ (y+y^3/3+x^2/2)dx+1/4(x+xy^2)dy=0

$$( y + \frac { y ^ { 3 } } { 3 } + \frac { x ^ { 2 } } { 2 } ) d x + \frac { 1 } { 4 } ( x + x y ^ { 2 } ) d y = 0$$

ამოხსნა d-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}\\d=0\text{, }&\text{unconditionally}\\d\in \mathrm{R}\text{, }&x=0\text{ or }y=\frac{7^{\frac{2}{3}}}{7}\left(\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}-3x^{2}}-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{441x^{4}+875}}{7}+3x^{2}}\right)\end{matrix}\right.$$

ხაზოვანი განტოლების ამოხსნის ეტაპები

გაამრავლეთ განტოლების ორივე მხარე 12-ზე, 3,2,4-ის უმცირეს საერთო მამრავლზე.

$$12\left(y+\frac{y^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

გამოსახულებების მიმატებისთვის ან გამოკლებისთვის, დაშალეთ ისინი, რათა გახადოთ მათი მნიშვნელი ერთნაირი. 3-ისა და 2-ის უმცირესი საერთო მამრავლი არის 6. გაამრავლეთ \frac{y^{3}}{3}-ზე \frac{2}{2}. გაამრავლეთ \frac{x^{2}}{2}-ზე \frac{3}{3}.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}}{6}+\frac{3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

რადგან \frac{2y^{3}}{6}-სა და \frac{3x^{2}}{6}-ს აქვს იგივე მნიშვნელი, შეკრიბეთ მათი მრიცხველები.

$$12\left(y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 12 y+\frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}-ზე.

$$\left(12y+12\times \frac{2y^{3}+3x^{2}}{6}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

შეკვეცეთ უდიდეს საერთო გამყოფზე 6 12 და 6.

$$\left(12y+2\left(2y^{3}+3x^{2}\right)\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 2 2y^{3}+3x^{2}-ზე.

$$\left(12y+4y^{3}+6x^{2}\right)dx+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 12y+4y^{3}+6x^{2} d-ზე.

$$\left(12yd+4y^{3}d+6x^{2}d\right)x+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 12yd+4y^{3}d+6x^{2}d x-ზე.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3\left(x+xy^{2}\right)dy=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3 x+xy^{2}-ზე.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3x+3xy^{2}\right)dy=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3x+3xy^{2} d-ზე.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+\left(3xd+3xy^{2}d\right)y=0$$

გამოიყენეთ დისტრიბუციული თვისება, რათა გაამრავლოთ 3xd+3xy^{2}d y-ზე.

$$12ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy+3xdy^{3}=0$$

დააჯგუფეთ 12ydx და 3xdy, რათა მიიღოთ 15ydx.

$$15ydx+4y^{3}dx+6dx^{3}+3xdy^{3}=0$$

დააჯგუფეთ 4y^{3}dx და 3xdy^{3}, რათა მიიღოთ 7y^{3}dx.

$$15ydx+7y^{3}dx+6dx^{3}=0$$

დააჯგუფეთ ყველა წევრი, რომელიც შეიცავს შემდეგს: d.

$$\left(15yx+7y^{3}x+6x^{3}\right)d=0$$

განტოლება სტანდარტული ფორმისაა.

$$\left(6x^{3}+7xy^{3}+15xy\right)d=0$$

გაყავით 0 15yx+7y^{3}x+6x^{3}-ზე.

$$d=0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{; }x=-\frac{\sqrt{-42y^{3}-90y}}{6}\text{, }&y\leq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&d=0\end{matrix}\right.$$