გადაწყვიტეთ (x-3)^2<2

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

ამონახსნის ეტაპები

უტოლობის ამოსახსნელად დაშალეთ მამრავლებად მარცხენა მხარე. კვადრატული მრავალწევრი შეიძლება მამრავლებად დაიშალოს გარდაქმნით ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), სადაც x_{1} და x_{2} კვადრატული განტოლების ax^{2}+bx+c=0 ამონახსნებია.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -6 b-თვის და 7 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

ხელახლა ჩაწერეთ უტოლობა მიღებული ამონახსნების გამოყენებით.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

უარყოფითი ნამრავლის მისაღებად x-\left(\sqrt{2}+3\right)-ს და x-\left(3-\sqrt{2}\right)-ს უნდა ჰქონდეთ საპირისპირო ნიშნები. განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც x-\left(\sqrt{2}+3\right) დადებითია და x-\left(3-\sqrt{2}\right) უარყოფითი.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

ეს არის მცდარი ნებისმიერი x-თვის.

$$x\in \emptyset$$

განვიხილოთ შემთხვევა, როდესაც x-\left(3-\sqrt{2}\right) დადებითია და x-\left(\sqrt{2}+3\right) უარყოფითი.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

ამონახსნი, რომელიც აკმაყოფილებს ორივე უტოლობას, არის x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

საბოლოო ამონახსნი წარმოადგენს მიღებული ამონახსნების გაერთიანებას.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$