გადაწყვიტეთ (x-1)(x+2)-(2x-3)(x+4)-x+14=0

$$( x - 1 ) ( x + 2 ) - ( 2 x - 3 ) ( x + 4 ) - x + 14 = 0$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-8$$

$$x=3$$

დაჯგუფების მიხედვით მამრავლებად დაშლის ნაბიჯების გამოყენება

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x-3 x+4-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

2x^{2}+5x-12-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -2x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

დააჯგუფეთ x და -5x, რათა მიიღოთ -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

შეკრიბეთ -2 და 12, რათა მიიღოთ 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

დააჯგუფეთ -4x და -x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

შეკრიბეთ 10 და 14, რათა მიიღოთ 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

განტოლების ამოსახსნელად მამრავლებად დაშალეთ მარცხენა ნაწილი დაჯგუფებით. ჯერ მარცხენა ნაწილი უნდა გადაიწეროს, როგორც -x^{2}+ax+bx+24. a-ისა და b-ის მისაღებად დააყენეთ სისტემა ამოსახსნელად.

$$a+b=-5 ab=-24=-24$$

რადგან ab უარყოფითია, a-სა და b-ს აქვთ საპირისპირო ნიშანი. რადგან a+b უარყოფითია, უარყოფით რიცხვს აქვს უფრო მაღალი აბსოლუტური მნიშვნელობა, ვიდრე დადებით რიცხვს. სიაში შეიყვანეთ ყველა ამგვარი მთელი რიცხვის დაწყვილება, რომელთა პასუხია -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

გამოთვალეთ თითოეული დაწყვილების ჯამი.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

ამონახსნი არის წყვილი, რომლის ჯამია -5.

$$a=3 b=-8$$

ხელახლა დაწერეთ -x^{2}-5x+24, როგორც \left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-8x+24\right)$$

x-ის პირველ, 8-ის კი მეორე ჯგუფში დაშლა მამრავლებად.

$$x\left(-x+3\right)+8\left(-x+3\right)$$

გაიტანეთ ფრჩხილებს გარეთ საერთო წევრი -x+3 დისტრიბუციული თვისების გამოყენებით.

$$\left(-x+3\right)\left(x+8\right)$$

განტოლების პასუხების მისაღებად ამოხსენით -x+3=0 და x+8=0.

$$x=3 x=-8$$

ეტაპები კვადრატული ფორმულის გამოყენებით

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x-3 x+4-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

2x^{2}+5x-12-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -2x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

დააჯგუფეთ x და -5x, რათა მიიღოთ -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

შეკრიბეთ -2 და 12, რათა მიიღოთ 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

დააჯგუფეთ -4x და -x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

შეკრიბეთ 10 და 14, რათა მიიღოთ 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

ეს განტოლება სტანდარტული ფორმისაა: ax^{2}+bx+c=0. ჩაანაცვლეთ -1-ით a, -5-ით b და 24-ით c კვადრატულ ფორმულაში, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

აიყვანეთ კვადრატში -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ -4-ზე -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 24}}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 4-ზე 24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\left(-1\right)}$$

მიუმატეთ 25 96-ს.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\left(-1\right)}$$

აიღეთ 121-ის კვადრატული ფესვი.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\left(-1\right)}$$

-5-ის საპირისპიროა 5.

$$x=\frac{5±11}{2\left(-1\right)}$$

გაამრავლეთ 2-ზე -1.

$$x=\frac{5±11}{-2}$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±11}{-2} როცა ± პლიუსია. მიუმატეთ 5 11-ს.

$$x=\frac{16}{-2}$$

გაყავით 16 -2-ზე.

$$x=-8$$

ახლა ამოხსენით განტოლება x=\frac{5±11}{-2} როცა ± მინუსია. გამოაკელით 11 5-ს.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

გაყავით -6 -2-ზე.

$$x=3$$

განტოლება ახლა ამოხსნილია.

$$x=-8 x=3$$

კვადრატის გამოთვლის ეტაპები

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ x-1 x+2-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{2}+x-2-\left(2x-3\right)\left(x+4\right)-x+14=0$$

გამოიყენეთ განაწილების თვისება, რათა გაამრავლოთ 2x-3 x+4-ზე და დააჯგუფეთ მსგავსი წევრები.

$$x^{2}+x-2-\left(2x^{2}+5x-12\right)-x+14=0$$

2x^{2}+5x-12-ის საპირისპირო მნიშვნელობის პოვნისთვის, იპოვეთ იგი ყოველი წევრისთვის.

$$x^{2}+x-2-2x^{2}-5x+12-x+14=0$$

დააჯგუფეთ x^{2} და -2x^{2}, რათა მიიღოთ -x^{2}.

$$-x^{2}+x-2-5x+12-x+14=0$$

დააჯგუფეთ x და -5x, რათა მიიღოთ -4x.

$$-x^{2}-4x-2+12-x+14=0$$

შეკრიბეთ -2 და 12, რათა მიიღოთ 10.

$$-x^{2}-4x+10-x+14=0$$

დააჯგუფეთ -4x და -x, რათა მიიღოთ -5x.

$$-x^{2}-5x+10+14=0$$

შეკრიბეთ 10 და 14, რათა მიიღოთ 24.

$$-x^{2}-5x+24=0$$

გამოაკელით 24 ორივე მხარეს. ნულს გამოკლებული ნებისმიერი რიცხვი უდრის ამავე უარყოფით რიცხვს.

$$-x^{2}-5x=-24$$

ორივე მხარე გაყავით -1-ზე.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{24}{-1}$$

-1-ზე გაყოფა აუქმებს -1-ზე გამრავლებას.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{24}{-1}$$

გაყავით -5 -1-ზე.

$$x^{2}+5x=-\frac{24}{-1}$$

გაყავით -24 -1-ზე.

$$x^{2}+5x=24$$

გაყავით 5, x წევრის კოეფიციენტი, 2-ზე, \frac{5}{2}-ის მისაღებად. შემდეგ დაამატეთ \frac{5}{2}-ის კვადრატი განტოლების ორივე მხარეს. ამის შედეგად განტოლების მარცხენა მხარე სრული კვადრატი გახდება.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

აიყვანეთ კვადრატში \frac{5}{2} მამრავლის მრიცხველის და მნიშვნელის კვადრატში აყვანის გზით.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

მიუმატეთ 24 \frac{25}{4}-ს.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

დაშალეთ მამრავლებად x^{2}+5x+\frac{25}{4}. ზოგადად, როცა x^{2}+bx+c სრული კვადრატია, ყოველთვის შესაძლებელია მისი დაშლა, როგორც \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

აიღეთ განტოლების ორივე მხარის კვადრატული ფესვი.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

გაამარტივეთ.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

გამოაკელით \frac{5}{2} განტოლების ორივე მხარეს.

$$x=3 x=-8$$