გადაწყვიტეთ (x-1)^3=-27

$$( x - 1 ) ^ { 3 } = - 27$$

ამოხსნა x-ისთვის (complex solution)

$$x=-2$$

$$x=\frac{5+3\sqrt{3}i}{2}\approx 2.5+2.598076211i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i+5}{2}\approx 2.5-2.598076211i$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-1\right)^{3}-ის გასაშლელად.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=-27$$

დაამატეთ 27 ორივე მხარეს.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1+27=0$$

შეკრიბეთ -1 და 27, რათა მიიღოთ 26.

$$x^{3}-3x^{2}+3x+26=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს26 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±26,±13,±2,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-2$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}-3x^{2}+3x+26 x+2-ზე x^{2}-5x+13-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}-5x+13=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -5 b-თვის და 13 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{5±\sqrt{-27}}{2}$$

ამოხსენით განტოლება x^{2}-5x+13=0, როცა ± არის პლუსი და როცა ± არის მინუსი.

$$x=\frac{-3i\sqrt{3}+5}{2} x=\frac{5+3i\sqrt{3}}{2}$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=-2 x=\frac{-3i\sqrt{3}+5}{2} x=\frac{5+3i\sqrt{3}}{2}$$

ამოხსნა x-ისთვის

$$x=-2$$

ამონახსნის ეტაპები

\left(a-b\right)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3} ბინომიალური თეორემის გამოყენება \left(x-1\right)^{3}-ის გასაშლელად.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1=-27$$

დაამატეთ 27 ორივე მხარეს.

$$x^{3}-3x^{2}+3x-1+27=0$$

შეკრიბეთ -1 და 27, რათა მიიღოთ 26.

$$x^{3}-3x^{2}+3x+26=0$$

რაციონალური ფესვების შესახებ თეორემის მიხედვით, მრავალწევრის ყველა რაციონალური ფესვი არის ფორმაში \frac{p}{q}, სადაც p ყოფს თავისუფალ წევრს26 და q ყოფს უფროს კოეფიციენტს 1. ჩამოთვალეთ ყველა შესაძლო ამონახსნი \frac{p}{q}.

$$±26,±13,±2,±1$$

იპოვნეთ ერთი ასეთი ფესვი ყველა მთელი რიცხვის მნიშვნელობის გადარჩევით, დაწყებული პატარადან, აბსოლუტური მნიშვნელობის მიხედვით. თუ მთელი რიცხვითი ფესვები ნაპოვნი არ არის, სცადეთ წილადები.

$$x=-2$$

ბეზუს თეორემის მიხედვით, x-k არის მრავალწევრის მამრავლი თითოეული ფესვისთვის k. გაყავით x^{3}-3x^{2}+3x+26 x+2-ზე x^{2}-5x+13-ის მისაღებად. ამოხსენით განტოლება, სადაც შედეგი უდრის 0.

$$x^{2}-5x+13=0$$

ax^{2}+bx+c=0 ფორმის ყველა განტოლების ამოხსნა შესაძლებელია კვადრატული ფორმულის გამოყენებით: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. ჩაანაცვლეთ 1 a-თვის, -5 b-თვის და 13 c-თვის კვადრატულ ფორმულაში.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 13}}{2}$$

შეასრულეთ გამოთვლები.

$$x=\frac{5±\sqrt{-27}}{2}$$

ვინაიდან უარყოფითი რიცხვის კვადრატული ფესვი არ არის განსაზღვრული რეალურ ველში, ამონახსნი არ არსებობს.

$$x\in \emptyset$$

ჩამოთვალეთ ყველა ნაპოვნი ამოხსნა.

$$x=-2$$